Доказательство великой теоремы Ферма

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

Аn+ Вn = Сn* /1/

где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A, B, С.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «тео

ремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n. Рассмотрим случай, когда показатель степени n- нечетное число. В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:

Аn + Вn = Сn = (A+B)[An-1-An-2·B +An-3·B2- …-A·Bn-2+Bn-1] /2/

Полагаем, что A и B – целые положительные числа.

Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел A и B множитель (A+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n.

* Числа А, В и С должны быть взаимно простыми числами.

Уравнение /2/ действительно при любом нечетном значении показателя степени n. Следовательно, из уравнения /1/ при n =1 имеем:

А1 + В1 = С1

А + В = С /3/

Следовательно, число (А + В) является делителем числа С .

Допустим, что число С - целое положительное число. Тогда с учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:

Сn = An + Bn =(A+B)n∙ Dn , /4/

где число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /4/ следует:

/5/

Из уравнения /4/ также следует, что число [Cn = An + Bn] при условии, что число С – целое число, должно делиться на число (A+B)n . Однако известно, что:

An + Bn < (A+B)n /6/

Следовательно:

- дробное число, меньшее единицы. /7/

- дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ

Доказательство строим аналогично вышеизложенному доказательству для нечетных показателей степени. Любое четное число, за исключением числа p=2q, является произведением числа p на нечетные, простые или составные, числа. Следовательно, четный показатель степени можно записать следующим образом:

n= pkm = 2q ∙km, /8/

где: p=2q;

q =1, 2, 3,…;

k =1,3,5,7,9,…;

m=3,5,7,9,11,…

Тогда уравнение /1/ можно записать следующим образом:

Сn = An + Bn =Apkm + Bpkm= (Apk )m + (Bpk )m /9/

Поскольку показатель степени m – нечетное число, то алгебраическое выражение /9/ преобразуется аналогично уравнению /2/ следующим образом:

Cn = Cpkm = (Apk + Bpk)∙[ (Apk )m-1 - (Apk )m-2 ∙Bpk +

+ (Apk )m-3 ∙(Bpk )2 -…- Apk ∙(Bpk )m-2 + (Bpk )m-1 ] /10/

При этом уравнения /4/ и /5/ преобразуются следующим образом:

Cn = Cpkm = (Apk + Bpk)m ∙ Dpkm /11/

Dpkm = (Apkm + Bpkm) / (Apk + Bpk )m /12/

В соответствии с уравнением /6/:

(Apkm + Bpkm) < (Apk + Bpk )m /13/

Следовательно, число Dpkm – дробное число, меньшее единицы.

Отсюда следует, что и при четном показателе степени n= 2q ∙km уравнение /1/ не имеет решения в целых положительных числах.

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах, как при нечетном, так и при четном показателе степени n >2 и не равном n ≠2q.

Для показателя степени n =2q существует иное доказательство великой теоремы Ферма.

Автор: Николай Михайлович Козий,

инженер-механик

 Скачать реферат