Интеграл по поверхности первого рода

Теорема 2.

В частности

. <

p>Пример. Найти циркуляцию по сечению сферы плоскостью .

Решение.

Потенциальное поле.

Свойства.

Потенциал поля.

Восстановление потенциала U(M) по

Потенциальное поле.

Определение. Векторное поле называется потенциальным в области , если существует скалярное поле является полем градиента этого скалярного поля .

;.

Поле -называется потенциалом поля .

Свойства: 1) Если потенциальное поле определяется однозначно с точностью до ..

2) Если -потенциальное , т.е. не зависит от пути интегрирования, а только от начала и конца пути.

3) Чтобы поле было потенциальным, необходимо чтобы был полным дифференциалом некоторой функции

Если -потенциальное, то для вычисления криволинейного интеграла достаточно найти разность

4) не зависит от пути интегрирования,

Для того чтобы поле было потенциальным, необходимо чтобы оно было безвихревым.

Нахождение потенциала векторного поля

Пример.

1) потенциальное ли поле?

2) Найти

1)

2)

Пример. Потенциал поля скоростей текущей жидкости . Вычислить количество жидкости, протекающей за единицу времени через отрезок прямой от О(0;0) до А(1;1).

Поток

Доказательство:

=.

В потенциальном поле циркуляция по замкнутому контуру равна нулю.

1. Поток

.

Для поля замкнутого поток равен нулю.

Пример. Вычислить поток и циркуляцию вдоль замкнутого контура

Поток

Циркуляция

II способ. Поток в плоском поле

Поток

Циркуляция

В плоском поле

Литература.

1. Ильин В.А. , Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. 1-2 том. Изд. МГУ,1989г.

2. Виноградова И.А. , Олексич С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 1,2 Изд. МГУ. Серия классический университетский учебник 250 летию МГУ 2005г.

3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Часть 1,2. Москва. Изд.Лань. 2002г.-880стр.

4. Лунгу К.Н. Сборник задач по математике. Часть 1,2. Москва. Айрис пресс 2005г.

Размещено на Allbest.ru

 Скачать реферат