Интеграл по поверхности первого рода

Физические задачи приводящие к поверхностному интегралу могут быть двух типов:

1) не связана с направлением нормали к поверхности

Например, задачи об отыскании массы или заряда распределенных по поверхности:

2) - зависит от направления нормали -задача об отыскании потока жидкости в направлении нормали.

Дано: -непрерывная функция на

-поверхность:

1) Разобьем поверхность на n частей

2) Возьмем точку

3) Вычислим -плотность

4) -масса

Следовательно

,

где D- проекция на плоскость XOY

Пример.

,

Пример. Определить массу, распределенную на поверхности , плотностью

Решение.

Специальные векторные поля.

1 Дивергенция.

2 Соленоидальные поля. Свойства.

3

1. Определение дивергенции

Теорема Остроградского -Гаусса

Пример.

Найти поток вектора направленный в отрицательную сторону оси Ох, через часть параболоида отсекаемый плоскостью

Решение:

Ответ.

Свойства соленоидальных полей.

Определение. Векторное поле , для всех точек которого называется соленоидальным в области . Соленоидальное поле свободно от источников.

Свойства соленоидальных полей.

1. Если соленоидальное поле задано в односвязной области, то поток вектора через любую замкнутую поверхность этой области равно нулю.

Пусть - соленоидальное поле в односвязной области. Тогда поток вектора через любую поверхность натянутую на заданный контур Г, не зависит от вида этой поверхности, а зависит лишь от контура.

применим теорему Остроградского-Гаусса.

2. Свойства векторной трубки.

Определение. Векторной линией называется линия в каждой точке которой направление касательной к ней совпадает с направлением поля .

векторной линии .

Возьмем в поле замкнутый контур и проведем через его точки векторные линии

Любая другая векторная линия проходящая через точки контура проходит либо внутри трубки либо вне трубки.

В случае потока жидкости , векторная трубка -это часть пространства, которую заполняет при своем перемещении объем жидкости.

Интенсивностью векторной трубки называется поток поля через поперечное сечение этой трубки.

3. Если поле соленоидальное в односвязной области , то интенсивность векторной трубки постоянна вдоль всей трубки.

Доказательство:

- боковая поверхность, векторные линии перпендикулярны . Следовательно (нормаль к есть нормаль поля т.е. )

и имеют противоположные направления.

 Скачать реферат