Задачи на экстремум в планиметрии

Между тем геометрически ясно, что искомая точка существует и совпадает с точкой Р(—r; 0). Из этого Декарт заключает, что признак минимума неверен. На самом деле точка Р (х = - r) не обнаруживается по другой причине: соответствующее ей наименьшее значение AM2 не является минимумом. Действительно, х изменяется только в промежутке (— r, + r). Рассматриваемая функция принимает наименьшее значение н

а конце промежутка.

§ 7. Правило разыскания экстремума

Пусть функция f(x, у) дифференцируема в некоторой области ее задания. Чтобы найти все ее экстремумы в этой области, надо:

1) Решить систему уравнений f 'x(x,y) = 0, f 'y(x,y) = 0. (1)

Решение даст критические точки.

2) Для каждой критической точки Р0 (a; b) исследовать, остается ли неизменным знак разности

f (x, y) – f (a, b) (2)

для всех точек (х; у), достаточно близких к Р0. Если разность (2) сохраняет положительный знак, то в точке Р0 имеем минимум, если отрицательный, — то максимум. Если разность (2) не сохраняет знака, то в точке Р0 нет экстремума.

Аналогично находим экстремумы функции при большем числе аргументов.

З а м е ч а н и е. При двух аргументах исследование иногда облегчается применением достаточного условия § 8. При большем числе аргументов это условие усложняется. Поэтому на практике стараются использовать частные свойства данной функции.

П р и м е р. Найти экстремумы функции

f(x, у) = х3 + у3-Зху + 1.

Р е ш е н и е. 1) Приравнивая к нулю частные производные f 'х = 3х2 — 3у, f =3у2 — Зх, получаем систему уравнений

х2 - у = 0, у2 — х = 0. (3)

Она имеет два решения:

х1 = у1 = 0, х2 = y2 = 1. (4)

Исследуем знак разности (2) для каждой из двух критических точек Р1 (0; 0), Р2 (1; 1).

2а) Для точки Р1 (0; 0) имеем:

f(x, у) – f(0, 0) = х3 + у3-Зху + 1. (5)

Разность (5) не сохраняет знака, т. е. в любой близости от Р1 есть точки двух типов: для одних разность (5) положительна, для других — отрицательна. Так, если точку Р (х; у) взять на прямой у = х, то разность (5) равна

2х3— Зх2 = х2 (2х — 3). Вблизи от Р1 (при х < 3/2) эта разность отрицательна. Если же точку Р (х; у) взять на прямой у = —х, то разность (5) равна Зх2, а эта величина всегда положительна.

Поскольку разность (5) не сохраняет знака, в точке P1 (0; 0) экстремума нет. Поверхность

z = х3 + у3 — Зху + 1

в точке (0; 0; 1) имеет вид седла (наподобие гиперболического параболоида).

2б) Для точки Р2 (1; 1) имеем:

f (x,y) – f (1; 1) = x3+ y3 - 3xy + l. (6)

Докажем, что эта разность в достаточной близости от точки (1; 1) сохраняет положительный знак. Положим:

х = 1 + α, у = 1+ β. (7)

Разность (6) преобразуется к виду

3(α 2 - α β + β2) + (α 3 + β3) (8)

Первый член при всех ненулевых значениях α, β положителей и притом больше чем 3/2 (α 2 + β2). Второй член может быть и отрицательным, но при достаточной малости | α | и | β |он по абсолютному значению меньше чем α 2 + β2. Значит, разность (8) положительна.

Стало быть, в точке (1; 1) данная функция имеет минимум.

§ 8. Теорема Чевы

Теорема Чевы — это классическая теорема геометрии треугольника. Эта теорема аффинная, т. е. она может быть сформулирована используя только характеристики сохраняющиеся при аффинных преобразованиях. Теорема названа в честь итальянского математика Джованни Чевы, который доказал её в 1678 году.

Начнём с определения: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой.

Три чевианы AA',BB',CC' треугольника конкурентны тогда и только тогда, когда

Если стороны BC, CA, AB треугольника ABC разделены в отношениях BP/PC = λ ≠ 0, CQ/QA = µ ≠ 0, AR/ RB = υ ≠ 0, то прямые AP, BQ, CR принадлежат одному и тому же пучку (собственному или несобственному) тогда и только тогда, когда λ, µ, υ = 1.

Эту теорему можно обобщить на случай когда точки A',B',C' лежат на продолжениях сторон BC,CA,AB. Для этого надо воспользоваться «отношением направленных отрезков», оно определено для двух направленных отрезков XY и ZT на одной прямой (или на параллельных прямых) и обозначается XY / ZT.

Пусть A',B',C' лежат на прямых BC,CA,AB треугольника . Прямые AA',BB',CC' конкурентны тогда и только тогда, когда

§9. Задачи о треугольнике наименьшего периметра, вписанного в остроугольный треугольник

Условие

Впишите в данный остроугольный треугольник ABC треугольник наименьшего периметра.

Решение

Пусть A1 — вершина искомого треугольника, принадлежащая стороне BC треугольника ABC. Рассмотрите образы точки A1 при симметриях относительно прямых AB и AC.

Пусть вершины A1, B1 и C1 треугольника A1B1C1 принадлежат сторонам соответственно BC, AC и AB треугольника ABC. Рассмотрим точки M и N, симметричные точке A1 относительно прямых AB и AC соответственно. Тогда, если PA1B1C1 — периметр треугольника A1B1C1, то

PA1B1C1 = A1C1 + C1B1 + B1A1 = MC1 + C1B1 + B1N MN,

причём равенство достигается только в случае, если прямая MN проходит через точки B1 и C1. Поскольку AM = AA1 = AN, то треугольник MAN — равнобедренный и

MAN = 2BAA1 + 2A1AC = 2BAC.

Следовательно,

MN = 2AM sinBAC = 2AA1sinBAC 2h sinBAC,

где h — высота треугольника ABC, проведённая из вершины A. Равенство достигается только в случае, когда точка A1 — основание высоты.

 Скачать реферат