Моделирование линейных непрерывных систем в среде LabVIEW

Рефераты / Программирование, компьютеры и кибернетика / Моделирование линейных непрерывных систем в среде LabVIEW

Таблица 2

K (p)

K (z)

Метод прямоугольников (1)

Метод прямоугольников (2)

Метод трапеций

h=159 valign=top >

Δt

z - 1

Δt z

z - 1

Δt (z + 1)

2 (z - 1)

(Δt) 2 (z +1)

2 (z - 1) 2

(Δt) 2z

(z - 1) 2

(Δt) 2 (z2 + 4z + 1)

6 (z - 1) 2

Видим, что одно и то же аналоговое устройство может описываться отличающимися дискретными передаточными функциями.

В таблице 1 была приведена дискретная передаточная функция интегрирующей цепи (для которой К (р) = 1/ (1 + рТ)), полученной применением Z-преобразования. Найдем другие варианты дискретной передаточной функции интегрирующей цепи, отличающиеся методами численного интегрирования.

При использовании метода прямоугольников (1) в передаточную функцию K (p) = 1/ (1 + pT) вместо р нужно подставить (z - 1) /Δt. Тогда получим

Δt/T

z – (1 – Δt/T)

K (z) = 1/ (1 + (z - 1) T/Δt) =.

Аналогично можно получить дискретные передаточные функции и для других методов численного интегрирования. Они представлены в таблице 3 Принято обозначение Δt/T = α

Таблица 3

Метод	K (z)
Z-преобразование	α z z - e-α
Метод прямоугольников (1)	α z - (1 - α)
Метод прямоугольников (2)	(α/ (1 + α)) z z - 1/ (1 + α)
Метод трапеций	(α / (2 + α)) (z + 1) z - (2 - α) / (2 + α)

Этим передаточным функциям соответствуют следующие рекуррентные формулы.

Для Z-преобразования

yk = e-αyk - 1 + αxk. (7)

Для численного интегрирования по методу прямоугольников (1)

yk = (1 - α) yk - 1 + αxk - 1.

Полученная формула совпадает с формулой для прямого метода Эйлера

Для численного интегрирования по методу прямоугольников (2)

yk = (1/ (1 + α)) yk - 1 + (α/ (1 + α)) xk. (8)

и по методу трапеций

yk = ( (2 - α) / (2 + α)) yk - 1 + (α/ (2 + α)) (xk + xk - 1). (9)

В лабораторной работе производится оценка ошибок цифрового моделирования для каждого из этих методов.

Моделирование линейных замкнутых систем

Нужно быть очень внимательным при выборе интервала дискретизации, когда моделируются замкнутые системы. В этих системах текущее значение входного процесса сравнивается со значением выходного процесса, рассчитанного по предыдущим значениям входного процесса. Это экстраполированное значение не должно значительно отличаться от входного процесса.

В противном случае возникают большие ошибки моделирования, а при большом интервале дискретизации процесс может стать неустойчивым. Выбор интервала дискретизации нужно связывать с полосой пропускания замкнутой системы.

Проводя аналогию с теоремой Котельникова, можно потребовать, чтобы Δf0,1Δt = 5 - 10, где Δf0,1 - полоса пропускания замкнутой системы по уровню 0,1.

Рассмотрим моделирование непрерывной замкнутой системы на конкретном примере, когда передаточная функция разомкнутой системы

р(1 + рТ)

Кр (р) =. (10)

Такая модель часто используется при анализе ошибок в следящей системе.

Запишем дискретную передаточную функцию разомкнутой системы, заменяя интеграторы по методу прямоугольников (2). Для этого преобразуем передаточную функцию разомкнутой системы (5.10), поделив числитель и знаменатель на р2:

К/р2

Т + 1/р

Кр (р) =.