Коды Фибоначи. Коды Грея

1. КОДЫ ФИБОНАЧЧИ

1.1 ЗОЛОТЫЕ ПРОПОРЦИИ

В математике существует большое количество иррациональных (несоизмеримых) чисел, т. е. обозначающих длину отрезка несоизмеримого с единицей масштаба. Ряд из них широко используется как в математике, так и в др. областях.

Например: Число p = 2pR/D=3,14159… , которое представляет отношение длины окруж

ности к ее диаметру. Число e = 2,71828… , при этом . Логарифмы с основанием e удобны для математических расчетов. Число Ö2 =1,44… , которое представляет отношение диагонали к стороне квадрата и ряд других чисел.

Особое иррациональное число a = (1+Ö5)/2 = 1,61803, которое называется золотая пропорция или золотое сечение и является результатом решения задачи деления отрезка в крайнем и среднем отношении (рис. 1)

A C B

о o o

Рис. 1 Деление отрезка

Если задан отрезок AB то необходимо найти такую точку C, чтобы выполнялось условие AB/CB = CB/AC.

Обозначим: x = CB/AC; (CB+AC)/CB = 1+1/x = x.

При этом x2–x–1 = 0. Корни этого уравнения равны: x1,2=(1±Ö5)/2.

Положительный корень называется золотой пропорцией , а точка C - золотым сечением. Золотая пропорция обладает рядом уникальных свойств.

Пропорция 1,61 . использовалась в архитектуре, художественных произведениях, музыке с античных времен. С этим числом связан ореол мистики, таинственности, божества и т.д.

В последнее десятилетие эта пропорция нашла свое применение в ЭВМ, АЦП-ЦАП, измерениях и т. д.

1.2 ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ

С золотым сечением тесно связаны числа Фибоначчи открытые итальянским математиком Леонардо из Пизы (Фибоначчи) в XIII веке, которые вычислены по формуле:

(1)

Эти числа представляют ряд: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 .

Отношение соседних чисел Фибоначчи 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 . в пределе стремится к золотой пропорции

. (2)

Числа Фибоначчи обладают еще рядом полезных свойств. Например, остатки от деления чисел Фибоначчи на 2 образуют последовательность: 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, . и т. д.

Обобщенные числа Фибоначчи или p-числа Фибоначчи вычисляются по рекуррентной формуле:

(3)

Где p = 0, 1, 2, 3, … . При р = 0 число j0(n) совпадает с двоичными разрядами 2n (табл. 1) .

Таблица 1

При р = 1 число j0(n) совпадает с обычным рядом Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, .

При р = число j0(n) = 1 для любого n ³ 0 равно:

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, .

1.3 КОДЫ ФИБОНАЧЧИ

Любое натуральное число N можно представить с помощью p-чисел Фибоначчи

(4)

где: ai Î{0, 1} - двоичная цифра i-го разряда; jp(i) - вес i-го разряда;

Любое натуральное число N можно представить также следующим способом:

(5)

Такое представление чисел N называется p-кодом Фибоначчи. Каждому p Î{0, 1, 2, …, ¥} соответствует свой код, т. е. их число бесконечно.

При p = 0 p -код Фибоначчи совпадает с двоичным кодом.

Для 1-кода Фибоначчи кодовые комбинации имеют вид:

Таблица 2

 Скачать реферат