Линейные системы уравнений

.

К высказанному необходимо сделать еще ряд замечаний, связанных со случаями, когда исходная матрица имеет кратные собственные значения или оказывается вырожденной.

Характеристическое уравнение матрицы A с кратным корнем можно записать в виде

height=25 src="images/referats/640/image144.gif">.

На основании этой записи можно составить минимальное характеристическое уравнение , для которого матрица A также является корнем:

.

Особенности в части определения собственных значений и векторов обычно возникают в несимметричных матрицах (). Некоторые из них никакими подобными преобразованиями не удается свести к диагональной. Например, не поддаются диагонализации матрицы n-го порядка, которые не имеют n линейно независимых собственных векторов. Однако любая матрица A размера с помощью преобразования подобия может быть приведена к прямой сумме жордановых блоков или к канонической жордановой форме:

,

где A – произвольная матрица размера ;

– жорданов блок размера ;

V – некоторая невырожденная матрица размера .

Характеристическое уравнение жорданова блока размера независимо от количества единиц в верхней диагонали записывается в виде произведения одинаковых сомножителей и, следовательно, имеет только кратных корней:

.

Если выразить матрицу V в форме вектора с компонентами в виде векторов-столбцов , то из равенства AV=VJ для каждого жорданового блока следует соотношение

.

Здесь в зависимости от структуры верхней диагонали, в которой может быть либо ноль, либо единица. Если жордановы блоки имеют размер , то мы имеем случай симметричной матрицы или матрицы с различными собственными значениями.

При поиске решений систем линейных уравнений с несимметричными матрицами, последние стремятся теми или иными приемами свести к выражению с симметричными матрицами.

Один из возможных подходов к решению несимметричных линейных систем состоит в замене исходной системы эквивалентной системой:

.

Недостаток этого подхода состоит в том, что мера обусловленности произведения матрицы A на свою транспонированную, оцениваемая отношением , оказывается больше, чем у матрицы A.

Под мерой обусловленности понимают отношение наибольшего собственного значения матрицы к наименьшему. Это отношение влияет на скорость сходимости итерационных процедур при решении уравнений.

Итак, основными алгебраическими системами уравнений можно считать неоднородные системы уравнений с симметричными матрицами коэффициентов.

Литература

1. Вержбицкий В.М. Основы численных методов: Учебник для вузов – 3-е изд. М: Высшая школа, 2009. – 840 с.

2. Самарcкий А.А. Задачи и упражнения по численным методам. Изд. 3 Изд-во: КомКнига, ЛКИ, 2006. – 208 с.

3. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. – 304 с.

4. Хеннер Е.К., Лапчик М.П., Рагулина М.И. Численные методы. Изд-во: «Академия/Academia», 2004. – 384c.

5. Чистяков С.В. Численные и качественные методы прикладной математики. СПб: 2004. – 268 с.

 Скачать реферат