Передача информации по каналу с решающей обратной связью

По уравнению (1.4) находим число контрольных символов:

m = Е" Iog2 [(4 + 1 ) + E"log2 (4 + 1 )] = Е" Iog2 (5 + 3)= 3.

Из табл.1.1 выбираем один из образующих многочленов третьей степени. Пусть Р(Х)=Х3 + Х + 1→ 1011. Находим остатки от деления единицы с нулями на Р(Х), которые соответственно равны 011, 110, 111, 101. Остатков должно быть четыре согласно числу информа

ционных символов. Выписывая транспонированную единичную матрицу и приписывая к ней справа матрицу дополнений в виде остатков, получаем образующую матрицу

Так как все члены единичной матрицы являются комбинациями заданного четырехразрядного двоичного кода, то четыре комбинации образующей матрицы представляют собой четыре комбинации требуемого циклического кода. Остальные 11 комбинаций циклического кода (начиная с пятой) могут быть получены путем суммирования по модулю 2 этих четырех комбинаций образующей матрицы так, как было проделано для кода с d=2:

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14

15

Заметим, что комбинация 13 была получена при выводе уравнения (1.2). Если сложить комбинации , то получим циклический код 1011000, в котором контрольными символами являются одни нули. Нулевая комбинация может быть также использована: у нее все символы — нули.

Как следует из табл. 1.1, в качестве образующего можно было бы взять и многочлен Р(Х)=Х3 + Х2 + 1→ 1101. В этом случае образующая матрица приняла бы вид

a10001101

a20010111

a30100011

a41000110

Многочлен Р(Х)=Х3 + Х + 1→ 1011 называется обратным или двойственным многочленом многочлена Р(Х)=Х3 + Х2 + 1→ 1101. Действительно, сравнивая записанные в двоичной форме выражения обоих многочленов, видим, что нули и единицы в обратном многочлене расположены зеркально относительно основного многочлена, т. е. младший разряд становится старшим. Так, многочлен 1110101 является обратным многочлену 1010111. Двойственный многочлен можно записать в виде

Р*(Х)=Хn-1Р(Х-1). (1.6)

В нашем примере Р*(Х)= Х3(Х-3 + Х-2 + 1) = Х3 + Х + 1. Использование двойственных многочленов расширяет возможности построения циклических кодов, так как если Р(Х) — неприводимый многочлен, то и многочлен Р*(Х) также неприводим.

Циклическое кодирование можно осуществлять не только путем составления образующей матрицы из транспонированной матрицы и матрицы дополнения. Тот же результат достигается, если каждый из членов единичной транспонированной матрицы умножить на образующий многочлен. Так, если образующий многочлен Р(Х)=Х3 + Х + 1→ 1011, то умножение транспонированной единичной матрицы на этот многочлен даст

0001X1011=0001011

0010Х1011=0010110

0100X1011=0101100

1000X1011=1011000

Заметим, что, например, умножение 0100X1011 эквивалентно 1011X X100=101100. Нуль слева (0101100) приписывается для комплектности кода. Результатом умножения явился циклический сдвиг образующего многочлена. Сложением полученных комбинаций можно образовать те же комбинации, что и с помощью двух предыдущих образующих матриц.

Нами был выбран в качестве исходного четырехэлементный двоичный код на все сочетания (k = 4), что позволило образовать 24=16 комбинаций циклического кода. Эти комбинации являются разрешенными, так как после кодирования разрядность кода из-за наличия контрольных символов m = 3 увеличилась до n = 7. Из 128 комбинаций семиразрядного двоичного кода 112 будут неразрешенными. При этом сравнение комбинаций, полученных с помощью образующей матрицы обоими многочленами, показывает, что из 32 комбинаций совпадают только нулевые и составленные из одних единиц.

Таким образом, из двоичного кода на все сочетания (k=4) были образованы два циклических кода с помощью различных образующих многочленов: Р(X)=1011 и P(X)=1101. При этом, несмотря на то что в каждом коде комбинации различны, оба кода вполне правомочны, так как комбинации в каждом из них отличаются друг от друга на кодовое расстояние d=3. В то же время сравнение кодов, составленных образующей матрицей [многочлен Р(Х)=Х3 + Х + 1] и умножением транспонированной матрицы на тот же многочлен, показывает полную идентичность комбинации этих кодов.

Теперь, когда ясна роль образующего многочлена при составлении циклических кодов, вырисовываются также следующие его свойства, которые могут помочь при изучении более сложных циклических кодов.

Первое свойство образующего многочлена заключается в том, что все разрешенные комбинации делятся на него без остатка. Это свойство следует из (1.2), и его можно проверить, разделив любую комбинацию кода на образующий ее многочлен. Таким образом, многочлен Р(Х) как бы позволяет образовать или выбрать из большего числа комбинации, удовлетворяющие только заданному закону построения кода, т. е. разрешенные. Поэтому многочлен Р(Х) и называется образующим.

Второе свойство образующего многочлена таково, что на него делится без остатка не только разрешенная комбинация, имеющая степень n — 1, но и двучлен Хn + 1. В нашем примере n = 7. При делении числа 10000001 на 1011 получается частное 10111 без остатка. Это значит, что образующий многочлен входит в качестве сомножителя в разложение двучлена Хn + 1, который с учетом равенства (1.5) можно записать в виде . Так для двучлена составляющие сомножители разложения должны быть неприводимыми многочленами, степени которых являются делителями числа m = 3. К числам, на которые m = 3 делится без остатка, относятся 1 и 3. Из табл. 1.1 выпишем все неприводимые многочлены первой и третьей степеней, которые и явятся сомножителями в разложении двучлена Х7+1:

 Скачать реферат