Численные методы решения задач условной многомерной оптимизации

Реализация методов безусловной оптимизации в программной среде MathCAD пошагово представлена ниже.

Метод сопряженных направлений:

1. Запишем исходную целевую функцию, максимум которой требуется найти:

2. Составим новую целевую функцию, условный минимум которой будем искать:

192 height=26 src="images/referats/7445/image044.png">

3. Запишем функцию ограничение:

4. Согласно методу штрафных функций составим штрафную функцию P(x,y,rk), используя квадратичный штраф:

5. Составим вспомогательную функцию F(x,y,rk), безусловный минимум которой будем искать:

6. Зададим начальный параметр штрафа и коэффициент "С" увеличения параметра штрафа:

7. Приступим к безусловному поиску методом сопряженных направлений. Для этого зададим начальные параметры:

8. Первая итерация метода сопряженных направлений:

8.1 Находим минимум функции стандартными свойствами MathCad:

9. Минимум найден, переходим ко второму шагу метода сопряженных направлений:

9.1. Аналогично пункту 8 производится поиск минимума с помошью функции root . После чего переходим на следующий шаг метода сопряженных направлений.

10. Третий шаг метода сопряженных направлений:

10.1. Аналогично пункту 8 производится поиск минимума стандартными свойствами MathCad. После чего переходим на следующий шаг метода сопряженных направлений.

11. Четвертый шаг метода сопряженных направлений:

12. Далее продолжаем двумерную оптимизацию методом сопряженных направлений, начиная с пункта 8.

Описание алгоритма поиска минимума методом сопряженных направлений:

1. На начальном этапе производятся шаги 1-5, как и в методе сопряженных направлений.

6. Зададим начальный параметр штрафа и коэффициент "С" увеличения параметра штрафа:

7. Переходим к безусловному поиску методом наискорейшего градиентного спуска. Для этого зададим начальные параметры:

8. Вычисляем градиент целевой функции:

9. Первая итерация метода наискорейшего градиентного спуска:

10. Далее продолжаем двумерную оптимизацию методом наискорейшего градиентного спуска, начиная с пункта 9.

После того как найдено значение безусловного минимума для заданного значения параметра r, проверяется выполнение критерий окончания итерационного процесса метода штрафных функций:

.

Если данное условие выполняется, то найден условный минимум и задача решена. Иначе задается новое значение параметра , и выполняется та же последовательность операций.

3. Результаты вычислений

Таблица 1 Поиск минимума методом штрафных функций с использованием метода сопряженных направлений

В результате была найдена точка минимума вспомогательной функции, которая удовлетворяет заданным ограничениям (-2.554; 0.833), и выполнено условие:

P(x*(r1), r1) = 0.0006 < 0.001.

Таблица 2 Поиск минимума методом штрафных функций с использованием метода наискорейшего градиентного спуска

 Скачать реферат