Учение о параллельности. Открытие неевклидовой геометрии

За постулатами следуют аксиомы (I ax. 1–9), которые имеют характер общих утверждений, относящихся в равной мере как к числам, так и к непрерывным величинам:

1. Равные одному и тому же равны и между собой.

2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.

3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

4. (И если к неравным прибавляются равные, то цел

ые будут не равны.)

5. (И удвоенные одного и того же равны между собой.)

6. (И половины одного и того же равны между собой.)

7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

8. И целое больше части.

9. (И две прямые не содержат пространства.)

Аксиома параллельности Евклида

Аксиома параллельности Евклида, или пятый постулат – одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии. Впервые приведена в «Началах» Евклида:

Евклид различает понятия постулат и аксиома, не объясняя их различия; в разных манускриптах «Начал» Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, равно как не совпадает и их порядок. В классическом издании «Начал» Гейберга сформулированное утверждение является пятым постулатом.

На современном языке текст Евклида можно переформулировать так:

Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей.

Пятый постулат чрезвычайно сильно отличается от других постулатов Евклида, простых и интуитивно очевидных (см. Начала Евклида). Поэтому в течение 2 тысячелетий не прекращались попытки исключить его из списка аксиом и вывести как теорему. Все эти попытки окончились неудачей. «Вероятно, невозможно в науке найти более захватывающую и драматичную историю, чем история пятого постулата Евклида». Несмотря на отрицательный результат, эти поиски не были напрасны, так как в конечном счёте привели к полному пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной.

Эквивалентные формулировки постулата о параллельных

В современных источниках обычно приводится другая формулировка постулата о параллельных, эквивалентная (равносильная) V постулату и принадлежащая Проклу (за рубежом её часто называют аксиомой Плейфера):

В плоскости через точку, не лежащей на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

В этой формулировке слова «одну и только одну» часто заменяют на «только одну» или «не более одной», так как существование хотя бы одной такой параллельной сразу следует из теорем 27 и 28 «Начал» Евклида.

Вообще у V постулата имеется огромное количество эквивалентных формулировок, многие из которых кажутся довольно очевидными. Вот некоторые из них:

§ Существует прямоугольник (хотя бы один), то есть четырёхугольник, у которого все углы прямые.

§ Существуют подобные, но не равные треугольники (аксиома Валлиса, 1693).

§ Любую фигуру можно пропорционально увеличить.

§ Существует треугольник сколь угодно большой площади.

§ Прямая, проходящая через точку внутри угла, пересекает по крайней мере одну его сторону (аксиома Лоренца, 1791).

§ Через каждую точку внутри острого угла всегда можно провести прямую, пересекающую обе его стороны.

§ Если две прямые в одну сторону расходятся, то в другую – сближаются.

§ Сближающиеся прямые рано или поздно пересекутся.

§ Вариант: перпендикуляр и наклонная к одной и той же прямой непременно пересекаются (аксиома Лежандра).

§ Точки, равноудалённые от данной прямой (по одну её сторону), образуют прямую,

§ Если две прямые начали сближаться, то невозможно, чтобы они затем начали (в ту же сторону, без пересечения) расходиться (аксиома Роберта Симсона, 1756).

§ Сумма углов одинакова у всех треугольников.

§ Существует треугольник, сумма углов которого равна двум прямым.

§ Две прямые, параллельные третьей, параллельны и друг другу (аксиома Остроградского, 1855).

§ Прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, непременно пересечёт и другую.

§ Через любые три точки можно провести либо прямую, либо окружность.

§ Вариант: для всякого невырожденного треугольника существует описанная окружность (аксиома Фаркаша Бойяи).

§ Справедлива теорема Пифагора.

Эквивалентность их означает, что все они могут быть доказаны, если принять V постулат, и наоборот, заменив V постулат на любое из этих утверждений, мы сможем доказать исходный V постулат как теорему.

Если вместо V постулата допустить, что для пары точка–прямая V постулат неверен, то полученная система аксиом будет описывать геометрию Лобачевского. Понятно, что в геометрии Лобачевского все вышеперечисленные эквивалентные утверждения неверны.

Система аксиом сферической геометрии требует изменения также и других аксиом Евклида

Пятый постулат резко выделяется среди других, вполне очевидных, он больше похож на сложную, неочевидную теорему. Евклид, вероятно, сознавал это, и поэтому первые 28 предложений в «Началах» доказываются без его помощи.

«Евклиду безусловно должны были быть известны различные формы постулата о параллельных». Почему же он выбрал приведенную, сложную и громоздкую? Историки высказывали различные предположения о причинах такого выбора. В.П. Смилга полагал, что Евклид такой формулировкой указывал на то, что данная часть теории является незавершённой. М. Клайн обращает внимание на то, что пятый постулат Евклида имеет локальный характер, то есть описывает событие на ограниченном участке плоскости, в то время как, например, аксиома Прокла утверждает факт параллельности, который требует рассмотрения всей бесконечной прямой. Надо пояснить, что античные математики избегали использовать актуальную бесконечность; например, второй постулат Евклида утверждает не бесконечность прямой, а всего лишь то, что «прямую можно непрерывно продолжать». С точки зрения античных математиков, вышеприведенные эквиваленты постулата о параллельных могли казаться неприемлемыми: они либо ссылаются на актуальную бесконечность или (ещё не введенное) понятие измерения, либо тоже не слишком очевидны.

Абсолютная геометрии.

Если из списка аксиом исключить V постулат, то полученная система аксиом будет описывать так называемую абсолютную геометрию. В частности, первые 28 теорем «Начал» Евклида доказываются без использования V постулата и поэтому относятся к абсолютной геометрии. Для дальнейшего отметим две теоремы абсолютной геометрии:

§ Параллельные прямые существуют; это следует из теорем 27 и 28 «Начал» Евклида.

 Скачать реферат