Роль простых чисел в математике

ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА

Из простых чисел можно получить любое число с помощью умножения. А что будет, если складывать простые числа? Конечно, если брать сколько угодно слагаемых, то можно получить любое число: четные числа получаются путем сложения двоек, а не четные путем сложения одной тройки и нескольких двоек. Но живший в России в XVIII веке математик Гольдбах решил

складывать нечетные простые числа лишь попарно. Он обнаружил удивительную вещь: каждый раз ему удавалось представить четное число в виде суммы двух простых чисел. Вот эти разложения для двухзначных чисел (как это было во времена Гольдбаха, мы считаем 1 простым числом):

4=1+3, 6=1+5, 8=1+7, 10=3+7, 12=5+7, 14=3+11,

16=3+13, 18=5+13, 20=3+17, 22=11+11, 24=11+13,

26=13+13, 28=23+5, 30=23+7, 32=19+13, 34=17+17,

36=17+19, 38=19+19, 40=37+3, 42=37+5, 44=37+7,

46=23+23, 48=47+1, 50=47+3, 52=47+5, 54=47+7,

56=53+3, 58=53+5, 60=53+7, 62=31+31, 64=61+3,

66=61+5, 68=61+7, 70=67+3, 72=67+5, 74=37+37,

76=73+3, 78=73+5, 80=73+7, 82=41+41, 84=41=43,

86=43+43, 88=87+1, 90=87+3, 92=87+5,94=87+7,

96=89+7, 98=97+1.

О своем наблюдении Гольдбах написал великому математику XVIII века Леонарду Эйлеру, который был членом Петербургской академии наук. Проверив еще много четных чисел, Эйлер убедился, что все они являются суммами двух простых чисел. Но четных чисел бесконечно много. По этому вычисления Эйлера давали надежду на то, что свойством, которое заметил Гольдбах, обладают все числа. Однако попытки доказать, что это всегда будет так, ни к чему не привели.

Двести лет математики размышляли над проблемой Гольдбаха. И только советскому ученому Ивану Матвеевичу Виноградову удалось сделать решающий шаг. Он установил, что любое достаточно большое натуральное число является суммой трех простых чисел. Но число, начиная с которого верно утверждение Виноградова, невообразимо велико. По этому пока что, к сожалению, нет надежды даже с помощью самых лучших ЭВМ проверить, верно ли это утверждение для всех остальных чисел.

АЛГОРИТМ

Для нахождения всех простых чисел не больше заданного числа n, следуя методу Эратосфена, нужно выполнить следующие шаги:

1) Выписать подряд все целые числа от 2 до n (2,3,4…,n)

2) Пусть переменная p изначально равна 2-первому простому числу.

3) Вычеркнуть из списка все числа от 2p до n, делящиеся на p (то есть, числа 2p,3p,4p,… .)

4) Найти первое невычеркнутое число, большее, чем р, и присвоить значению переменной p это число.

5) Повторять шаги 3 и 4 до тех пор, пока p не станет больше, чем n.

6) Все невычеркнутые числа в списке - простые числа.

На практике, алгоритм можно немного улучшить следующим образом.

На шаге №3, числа можно вычеркивать, начиная сразу с числа p2, потому что все составные числа меньше его уже будут вычеркнуты к этому времени.

И, соответственно, останавливать алгоритм можно, когда p2 станет больше, чем n.

ЗАДАЧИ

В некотором царстве, в некотором государстве жила принцесса. И однажды ей захотелось узнать ответ на свой вопрос о соседнем королевстве. В соседнем королевстве было 12 фей. За ночь всем феям надо было выполнить одинаковое количество желаний. Всего им надо было выполнить 144 желания. И принцессе захотелось узнать, сколько желаний должна выполнить одна фея за ночь. Но чтобы узнать ответ на вопрос, принцессе надо было слетать в соседнее королевство и спросить у фей. Долететь до королевства принцесса поручила дракону и дала ему на всю дорогу 6 часов. Расстояние до королевства 448,8 км. С какой скоростью должен лететь дракон, чтобы успеть слетать и туда, и обратно?

Решение

1) 6:2=3 (часа)- за такое время дракон должен слетать туда или обратно.

2) 448,8:3=149,6 (км/ч)- с такой скоростью должен лететь дракон, что бы прилететь в своё королевство вовремя.

( Задачу придумала Сторожева Яна).

Дракону надо лететь со скоростью 149,6 км/ч, что прилететь в своё королевство вовремя.

Тем времен дракон прилетел в соседнее королевство. Решение вопроса принцессы оказалось очень простым:

Решение

1) 144:12=12(желаний)- должна выполнить 1 фея за ночь.

( Задачу придумала Бордюгова Анастасия).

1 фея должна выполнить 12 желаний за ночь.

Дракон прилетел обратно и получил за ответ на вопрос принцессы вознаграждение: 1,2 кг мороженого. Он решил поделиться мороженым с друзьями. Друзей у него было 7. Сколько мороженого досталось каждому другу и самому дракону?

Решение

1) 7+1=8- друзья и сам дракон.

2) 1,2:8=0,15(кг)- досталось каждому другу и самому дракону.

( Задачу придумала Хисемятдинова Нейля).

0,15 кг мороженого досталось каждому другу и самому дракону.

Принцесса решила позвать к себе на работу 7 гномов, чтобы они искали изумруды. И сказала им, что за неделю они должны найти 147 изумрудов. А сама принцесса решила узнать: сколько 7 гномов должны найти изумрудов за 1 день? Сколько 1 гном должен найти изумрудов за 1 день? Сколько 1 гном должен найти изумрудов за неделю?

Решение

1) 147:7=21(изумруд)- должны найти 7 гномов за 1 день.

2) 21:7=3(изумруда)- должен найти 1 гном за 1 день.

3) 3*7=21(изумруд)- должен найти 1 гном за неделю.

( Задачу придумала Сторожева Яна).

21 изумруд должны найти 7 гномов за 1 день, 3 изумруда должен найти 1 гном за 1 день, 21 изумруд должен найти 1 гном за неделю. Гномам надо было где-то жить. Принцесса решила отдать им подвал. В подвале было 476м2. Сколько каждому гному должно достаться м2, чтобы каждому гному досталось одинаковое количество м2?

Решение

1) 476:7=68(м2)- достанется каждому гному.

( Задачу придумала Бордюгова Анастасия).

Каждому гному достанется по 68м2.

Как-то раз к принцессе пришла Красная шапочка и сказала, что не умеет делить. Она приготовила 381 пирожок и должна раздать его 3 своим бабушкам. Но она не знает, сколько пирожков должно достаться каждой бабушке. Принцесса стала считать:

Решение

1) 381:3=127 (пирожков)- достанется каждой бабушке.

( Задачу придумала Хисемятдинова Нейля).

Принцесса сказала Красной шапочке, что каждой бабушке достанется по 127 пирожков. Красная шапочка п

Индийские математики нашли уникальный алгоритм поиска простых чисел

 Скачать реферат