Вычисление случайных величин

Задача №1.

Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области ABC:

где S – площадь треугольника ABC.

Определить плотности случайных величин X и Y, математические ожидания

M(X) и M(Y), дисперсии D(X) и D(Y), а также коэффициент корреляции . Являются ли случайные величины X и Y независимыми?

Решение.

Разделим область ABC на две равные части вдоль оси OX, тогда из условия

или

следует, что

Тогда плотность двумерной случайной величины (X,Y):

Вычислим плотность составляющей X:

при ,

откуда плотность составляющей X –

Вычислим плотность составляющей Y:

при ,

при ,

Поэтому плотность составляющей Y –

Найдем условную плотность составляющей X:

при , случайные величины X и Y зависимы.

Найдем математическое ожидание случайной величины X:

Найдем дисперсию случайной величины X:

Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины X:

Найдем математическое ожидание случайной величины Y:

Найдем дисперсию случайной величины Y:

Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:

Найдем математическое ожидание двумерной случайной величины (X,Y):

Тогда ковариация: ,

а значит и коэффициент корреляции

Следовательно, случайные величины X и Y - зависимые, но некоррелированные.

Задача №2

Двумерная случайная величина (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей:

Найти коэффициент корреляции между составляющими X и Y.

Решение.

Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины X:

Проверка: + + + = 0,213 + 0,254 + 0,270 + 0,263 = 1.

Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины Y:

Проверка: + + = 0,161 + 0,389 + 0,450 = 1.

Вычислим числовые характеристики случайных величин X и Y.

1. Математическое ожидание случайной величины X:

2.

Математическое ожидание случайной величины Y:

 Скачать реферат