Разностные схемы для уравнений параболического типа

1. Решение задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши для уравнения теплопроводности

, , width=15 height=23 id="Рисунок 3" src="images/referats/3093/image003.png" alt="http://ad.cctpu.edu.ru/Math_method/math/22.files/image006.gif"> , (3.5)

с условием на прямой t=0

, . (3.6)

Требуется найти функцию , которая при и удовлетворяла бы уравнению (3.5), а при выполняла бы условие (3.6).

Будем считать, что задача (3.5), (3.6) имеет в верхней полуплоскости единственное решение , непрерывное вместе со своими производными

, i=1, 2 и , k=1, 2, 3, 4.

Запишем задачу (3.5), (3.6) в виде . Для этого достаточно положить

Будем далее считать, что t изменяется в пределах . В рассматриваемом случае

,

Г − объединение прямых t=0 и t=T.

Выберем прямоугольную сетку и заменим область сеточной областью . К области отнесем совокупность узлов , где

, , ,

, , , .

Заменим задачу разностной схемой вида . Обозначим через точное значение решения задачи в узле , а через – соответствующее приближенное решение. Имеем

Для замены выражений и воспользуемся формулами численного дифференцирования. Имеем:

, (3.7)

 Скачать реферат