Методы подобия и моделирования с привлечением физических уравнений

Согласно условиям подобия (3.11) левые части уравнений (3.10) равны между собой. Кроме того, попарно равны также сходственные аргументы функций Qг и Q2.

Поскольку равенство левых частей уравнений (ЗЛО) должно выполняться при любых значениях определяющих критериев подобия, функции вх и в2 — тождественно одинаковы:

Таки

м образом, безразмерные критериальные) уравнения физических полей тождественно совпадают между собой, если соответствующие им объекты 1 и 2 удовлетворяют условиям механического подобия.

§ 2. Масштабные преобразования алгебраических и дифференциальных уравнений. Теоремы подобия

До сих пор вопросы подобия явлений обсуждались нами с позиций анализа размерностей физических величин. Перейдем к рассмотрению условий подобия, исходя из анализа физических уравнений процесса.

Будем считать известными уравнение или систему дифференциальных уравнений с соответствующими граничными и начальными условиями, которые полностью определяют данный механический процесс или явление.

Предположим вначале, что решение рассматриваемой системы дифференциальных уравнений известно и может быть "представлено в форме одного или нескольких конечных соотношений между переменными:

Здесь величины Qj (/ = 1, 2, п) включают независимые переменные, искомую функцию и остальные основные параметры некоторого решения «s».

Любое другое решение этой же задачи, подобное решению (3.12), определяется как результат подобного преобразования переменных Qj по формулам

Так как подобные явления, соответствующие решениям (3.14) и (3.12), принадлежат к одному классу, преобразование переменных по формулам (3.13) не должно изменять вида функции F. Следовательно, выяснение условий подобия данных явлений может быть сведено к исследованию условий инвариантности уравнений (3.12), (3.14) по отношению к преобразованиям подобия (3.13).

С этой целью рассмотрим возможные варианты преобразований (3.13) при различном выборе масштабов kj.

Если множители kj выбираются произвольными без каких бы то ни было ограничений, уравнениям (3.12) и (3.14) можно одновременно удовлетворить при условии

Согласно этому условию функция (3.12) должна обладать таким особым свойством, когда подобное преобразование отдельных переменных Qj приводит к подобному преобразованию функции F в целом. Зависимости вида (3.12), удовлетворяющие условиям (3.15), принадлежат к так называемым гомогенным (однородным) функциям г.

Таким образом, при произвольных масштабах kj свойствами инвариантности к подобным или, как часто говорят, к масштабным преобразованиям обладают лишь гомогенные функции F.

В работе 131] показано, что условия (3.15) ограничивают зависимости (3.12) классом степенных комплексов

Ввиду того, что ограничение (3.15) является чрезмерно жестким, а функции (3.16) не являются настолько универсальными, чтобы описать любой механический процесс, рассмотрим вопрос об инвариантности уравнения (3.12) по отношению к подобным преобразованиям (3.13) в видоизмененной постановке. Для этого откажемся от предположения о произвольности множителей kj и будем искать такие ограничения на выбор масштабов в формулах (3.13), которые обеспечивают сохранение вида функции F при выполнении преобразований подобия.

Не останавливаясь на доказательстве, укажем, что для сохранения свойства инвариантности уравнения (3.12) к группе подобных преобразований (3.13) необходимо потребовать выполнения

В качестве примера составления условий инвариантности (3.17) для конечных (алгебраических) уравнений рассмотрим элементарный пример о нагружении консольной балки сосредоточенной силой и моментом.

Пусть два геометрически подобных бруса 1 и 2 прямоугольного поперечного сечения имеют размеры /, b, h (рис. 3.2). Параметры образцов 1 и 2 будем снабжать соответствующими нижними индексами.

Каждый из образцов находится под действием сосредоточенных сил Р и моментов Му приложенных в сходственных точках 2?! и В2 с координатами хг — ll9 уг = 0, гг = О и х2 = /2, Уъ = О, 2а = 0.

Аналогом уравнений (3.12) для рассматриваемого примера является решение задачи сопротивления материалов о напряженно-деформированном состоянии бруса для произвольной точки Аг в форме [84]

Одноименные уравнения в формулах (3.19) и (3.20) обладают важным свойством. В том случае, если масштабы kj (10, <у0> Щ* Ео> 8о> Л» М0) не являются произвольными, а выбраны из условий (3.21), указанные уравнения для образцов 1 и 2 будут одинаковыми.

Таким образом, выполнение условий (3.21) обеспечивает инвариантность уравнений (3.18) по отношению к подобным преобразованиям (3.19). Согласно методу исследования подобия, основанному на масштабных преобразованиях физических уравнений в конечной форме, две геометрически подобные системы считаются механически подобными, если уравнения, описывающие эти системы, тождественно совпадают.

Можно показать, что в общем случае условия (3.17), обеспечивающие инвариантность физических уравнений, могут быть преобразованы в критерии подобия механических состояний или процессов, описываемых уравнениями (3.12) [311.

дикаторы подобия в различной математической форме выражают одни и те же условия механического подобия двух объектов — модели и натуры.

Перейдем к изучению подобных преобразований физических уравнений, содержащих дифференциальные операторы и переменные под знаком интеграла. Особенности анализа подобия явлений, описываемых дифференциальными и интегральными уравнениями, связаны с масштабными преобразованиями указанных операторов.

Учитывая эту аналогию между индикаторами подобия дифференциальных и алгебраических выражений, следует заключить, что при образовании индикаторов подобия для операторов дифференциальных уравнений знаки дифференциалов можно опустить, рассматривая дифференциалы как конечные приращения переменных.

В процессе подобных преобразований интегральных уравнений следует исходить из осредненных физических величин. Например, в сходственных точках объектов «6> и «s» одноименные величины относятся как (Qj)t/(Qj)s = kj. Это соотношение остается справедливым и для величин, осредненных по площади /.

Полученное равенство kj = kj подтверждает возможность составления индикаторов подобия для интегральных операторов из осредненных величин таким же путем, как они находятся для локальных значений переменных.

 Скачать реферат