Методы подобия и моделирования с привлечением физических уравнений

В данном примере четыре уравнения связи содержат восемь неизвестных масштабов, поэтому четыре масштаба могут быть выбраны произвольно.

Будем считать произвольными (свободными) масштабы Е09 ц0, /0, w0. Задавая свободный масштаб для поперечных прогибов в долях геометрического масштаба w0 — kl0(k — произвольное число), найдем остальные (зависимые) масштабы из уравнений связи (3.31):

idth=438 height=26 src="images/referats/7505/image034.jpg">

В отличие от уравнений связи (3.31), полученных путем подобных преобразований физических уравнений, метод анализа раз* мерностей в нашем случае приводит к пяти критериям подобия (я = 8, г = 3, k = п—г т 5), из которых следуют несколько другие уравнения для выбора масштабов моделирования:

В соотношениях (3.32) условие w0 = 10 является жестким требованием анализа размерностей. При моделировании вынужденных колебаний стержня на основе масштабных преобразований уравнений краевой задачи (3.27) это условие существенно ослаблено равенством wQ = kl09 которое позволяет расширить практические возможности выбора масштабов. При k = 1 условия моделирования для обоих методов теории подобия совпадают.

Уравнения (3.31) с учетом выражений для масштабов основных параметров (3.28) позволяют связать между собой характеристики подобных объектов в форме условий моделирования:

Условия инвариантности независимых безразмерных комплексов (3.33) для соответственных точек модели и натуры могут быть записаны также в виде

Уравнения (3.34) формально правильны. Однако они неудобны для представления результатов моделирования вынужденных колебаний стержня в критериальной форме, так как в них нет четкого разделения безразмерных отношений Щ (k = 1, 2, 3, 4) на определяющие и определяемые критерии подобия. Этот недостаток может быть устранен путем тождественных преобразований безразмерных комплексов (§ 1.6). В результате указанных преобразований имеем

Если влияние внутреннего трения на процесс колебаний Пренебрежимо мало, безразмерный комплекс Е\х21т в уравнении (3.35) может быть отброшен.

С другой стороны, пренебрежение начальными смещениями в уравнении (3.35) оказывается невозможным (б~>0: П1* -∞, П4*- ∞), так как учет влияния параметра б положен в основу условий единственности решения системы уравнений (3.27). Более гибким в этом смысле оказывается метод анализа размерностей, который приводит с помощью (3.32) к критериальному уравнению большей степени общности

Уравнение (3.36) допускает предельные переходы как для случая малых значений критерия Е\л2/т, так и при малых относительных начальных отклонениях б//.

Правила моделирования механических явлений и процессов на основе анализа физических уравнений и классического подхода к выбору геометрических свойств модели и натуры непосредственно следуют из теорем подобия (§ 3.2) и могут быть сформулированы в виде следующих положений.

1. Модель 1 и натурный объект 2 должны удовлетворять требованиям геометрического подобия.

2. Процессы, происходящие в модели и натуре, должны принадлежать к одному классу и описываться одинаковыми уравнениями.

3. Одноименные независимые безразмерные параметры, входящие в уравнения модели и натуры, должны иметь одинаковые численные значения.

4. Начальные и граничные условия объектов 1 и 2, записанные в безразмерном виде, должны тождественно совпадать.

Перечисленные условия являются необходимыми и достаточными для того, чтобы явления, происходящие в модели, были подобны явлениям в натурном объекте [100].

 Скачать реферат