Методы подобия и моделирования с привлечением физических уравнений

Таким образом, операции дифференцирования и интегрирования в физических уравнениях не изменяют условий подобия механических состояний и процессов [76].

В качестве примера масштабных, преобразований физических уравнений, содержащих дифференциальные операторы, рассмотрим уравнения краевой задачи об изгибе консольной балки (см/, рис, 3.2) для объекта 1 [84]:

Решение системы дифференциальных уравнений (3.22) в форме конечных соотношений (3.18) было использовано выше для примера подобных преобразований алгебраических уравнений.

Введем масштабы для всех переменных и постоянных величин, входящих в дифференциальные уравнения и краевые условия (3.22):

Заменяя все физические величины в уравнениях изгиба балки объекта 2 через переменные с индексом 1 по формулам (3.23) и учитывая правила масштабных преобразований дифференциальных операторов, получим при 10 Ф О, о0 Ф О, Р0 Ф О

Результаты масштабных преобразований краевой задачи для дифференциальных уравнений (3.22) и для интеграла этих же уравнений (3.18) в алгебраической форме подтверждают вывод о независимости условий механического подобия от операторов дифференцирования в физических уравнениях.

В заключение обсуждения вопросов подобия механических систем на основе масштабных преобразований физических уравнений сформулируем три основные теоремы подобия [37].

Теорема I. В подобных явлениях критерии подобия имеют одинаковые численные значения.

Теорема II. Все конечные и дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические процессы, могут быть преобразованы в уравнения, выражающие однозначную связь между критериями подобия.

Теорема III. Необходимые и достаточные условия подобия явлений заключаются в равенстве численных значений определяющих критериев подобия. Равенство численных значений остальных критериев является следствием существования подобия.

§ 3. О моделировании задач с начальными и граничными условиями

Дифференциальные уравнения механики элементов конструкций устанавливают взаимную связь между пространственными и временными изменениями физических переменных изучаемого явления. Эти уравнения описывают в пределах элементарного объема все без исключения явления данного класса, независимо от геометрической конфигурации объекта и характера его взаимодействия с окружающей средой.

Для того чтобы выделить из целого класса единичное явление, необходимо присоединить к дифференциальным уравнениям определенные условия, которые позволили бы рассматривать конкретный случай поведения объекта. Эти условия определяются:

1) распределением в пространстве существенных для процесса параметров системы для начального момента времени;

2) характером взаимодействия системы с окружающими объектами и внешней средой для каждого момента времени.

Условия 1 и 2 представляют собой соответственно начальные и граничные (или краевые) условия.

Система дифференциальных уравнений вместе с начальными и граничными условиями дает полную математическую формулировку поставленной задачи как для натурного объекта, так и для его модели.

Если дифференциальные уравнения совместно с начальными и краевыми условиями приведены к безразмерному виду, задание численных значений безразмерных начальных и краевых условий совместно с определяющими критериями подобия (§ 2.1) выделяет из всего класса механических состояний или процессов уже не единичное явление, а группу подобных явлений [101 ].

Таким образом, существенным элементом при исследовании подобия методом масштабных преобразований физических уравнений g целью последующего моделирования механических состояний или процессов являются преобразования подобия начальных и краевых условий совместно с преобразованиями самих дифференциальных уравнений.

Рассмотрим особенности моделирования в задачах с начальными и граничными условиями на примере вынужденных поперечных колебаний стержня с учетом внутреннего трения в материале.

Для учета внутреннего трения в качестве уравнения состояния материала воспользуемся моделью упруговязкого тела Фойгта [86]. В этом случае напряжение а и деформация е в продольных волокнах стержня связаны зависимостью

где Е — модуль упругости; — коэффициент вязкости.

Принимая в дополнение к закону (3.25) гипотезу плоских сечений, придем к дифференциальным зависимостям для поперечных движений стержня [9]

Здесь х, i — осевая координата и время m, EJ — погонная масса и изгибная жесткость стержня; w (ху t)9 Q (х, t)9 М (х, t) — текущие значения прогибов, перерезывающих сил и изгибающих моментов.

Пусть призматический консольный стержень (см. рис. 2.2) нагружен на свободном конце сосредоточенной возмущающей силой Р = Р (t) и имеет в момент времени t = 0 начальные отклонения от оси 8 = б (х). В этом случае краевая задача для системы дифференциальных уравнений (3.26) при обозначениях ' () = = d/dt, (У = д/дх имеет вид

Рассматривая два геометрически подобных объекта — модель 1 и натуру 2, введем масштабы для основных параметров системы физических уравнений (3.27):

Уравнения (3.27) для модели и натуры различаются лишь индексами 1, 2 у всех постоянных и переменных величин. Рассматривая эти уравнения для натуры 2 и выполняя в них масштабные преобразования основных параметров в соответствии с формулами (3.28), придем ic видоизмененной краевой задаче в форме

Уравнения (3.29) представляют собой результат подобных преобразований равенств (3.27), записанных для натуры. Из условий инвариантности физических уравнений для двух механически подобных объектов — модели 1 и натуры 2 имеем четыре независимых индикатора подобия:

Индикаторы подобия (3.30) представляют собой уравнения связи между масштабами или просто уравнения связи. Выше было показано (§ 3.2), что они эквивалентны условиям подобия физических явлений.

Для практических целей уравнения связи удобно представить в форме отношений масштабов

Роль краевых условий при исследовании подобия методом масштабных преобразований физических уравнений особенно наглядно видна из рассмотрения соотношений (3.31). Оба подчеркнутых дважды уравнения связи являются здесь существенными условиями подобия и моделирования, которые нельзя получить из основного дифференциального уравнения движения без привлечения начальных и краевых условий.

С помощью уравнений связи по заданным характеристикам одного образца (модели) можно получить характеристики другого образца (натуры) простым пересчетом.

 Скачать реферат