Доказательство Великой теоремы Ферма с помощью метода бесконечных (неопределенных) спусков

Ka = Kb = Kc = Kгде {Ka , Kb ,Kc} ⊂Z

и

К = an-2 = bn-2 = cn-2 гдетакже {K} ⊂Zпринадлежит множеству целых чисел

Получаем систему взаимно увязанных решений:

g width=40 height=104 src="images/referats/7516/image002.png" align=left hspace=12 alt="Підпис: {">a’n + b’n = c’n

К · a’2 + К · b’2 = К · c’2

К = an-2 = bn-2 = cn-2 где {a’, b’, c’} ⊂ Z и {K} ⊂Z

Невозможность получения решения системы уравнений (1):

an + bn = cn

К · a2 + К · b2 = К · c2 (1)

К = an-2 = bn-2 = cn-2 где {a’, b’, c’} ⊂ Z и {K} ⊂Z

является доказательством невозможности получения решения уравнения an + bn = cn в целых числах {a’, b’, c’} ⊂ Z ,

если существует хотя бы одно решение a2 + b2 = c2 в целых числах {p, q, r} ⊂ Z .

И, наоборот, решение системы уравнений (1) при существующем хотя бы одном решении a2 + b2 = c2 в целых числах {p, q, r} ⊂ Z даст возможность найти решение уравнения an + bn = cn в целых числах {a’, b’, c’} ⊂ Z .

Система уравнений (1) может быть преобразована в сумму систем уравнений (2) и (3)

при n≠ 2 и К ≠ 0 где {a’, b’, c’} ⊂ Z и {K} ⊂Z

an + bn = cn где

a2 + b2 = c2

K= a = b = c (2)

при n = 2 и К ≠ 0 где {a’, b’, c’} ⊂Zи {K} ⊂Z

an + bn = cn

a2 + b2 = c2

K =a0 = b0 = c0 (3)

Рассмотрим систему уравнений (2) получаем:

2c2 = c2 ,

2b2 = b2 ,

2a2 = a2 ,

Отсюда следуют выводы:

1) Система уравнений (2) не имеет решение в целых числах {a’, b’, c’} ⊂ Z, значит система уравнений (2) неразрешима в целых числах {a’, b’, c’} ⊂ Z.

2) Система уравнений (2) имеет решение только в при а = 0, в = 0, с = 0 т.е. {a, b, c} ⊂N , это решение что не входит в условие рассмотрение задачи.

Других решений система уравнений (2) не имеет (геометрически – треугольник не может быть одновременно равносторонним и прямоугольным).

Рассмотрим систему уравнений (3)

При n = 2 равенствозначений a0 = b0 = c0сохраняется при любых соотношениях a, b, c. Поиск хотя бы одного решения уравнения a2 + b2 = c2 входит в условие доказательства теоремы Ферма.

Известно, что все решения в целых числах уравнения a2 + b2 = c2 найдены и имеют следующий вид:

a = p2 – q2

b = 2pq

c = p2 + q2

где p и q – целые числа.

Для нашего доказательства достаточно одного решения. Например - (3,4,5).

Отсюда делаем вывод, если существует решение уравнения a2 + b2 = c2 где {a’, b’, c’} ⊂ Z то уравнениеan + bn = cn при n≠ 2 (где n – любое натуральное число) не будет иметь решение при любых {a, b, c} ⊂ Z в силу неразрешимости системы уравнений (2).

Так как уравнениеan + bn = cn не имеет решений в ненулевых целых числах а’ , b’, c’ ({a’, b’, c’} ⊂ Z ) при n≠ 2,где n– любое натуральное число (n⊂N), значит, оно не имеет решения и в случае, когда n >2 .

Доказательство Великой теоремы Ферма логически построено на доказательстве отсутствия необходимого условия решения в целых ненулевых числах уравнения an + bn = cn при натуральном n > 2 и геометрически может быть сформулировано таким образом: невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще ни в какую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем в силу того, что необходимым условием такого разложения является возможность прямоугольного треугольника быть равносторонним (в равностороннем треугольнике все углы равны 60°).

Вышеуказанные рассуждения просты, наглядны, они не основаны на поиске конкретных решений уравнения an+ bn = cn, а основаны на поиске доказательства, исключающего решение уравненияan + bn = cn в целых числах.

 Скачать реферат