Пространства Соболева

Рефераты / Математика / Пространства Соболева

Согласно определению пространства существуют функции и такие, что при а в среднем.

Мы приходим к следующему важнейшему определению. Пусть Тогда в определены элемент с представителем и элемент с представителем называется обобщённой производной (в смысле Соболева) от При этом пишут:

Из определения обобщённой производной видно, что она определяется не локально, в отдельных точках, а глобально – сразу на всём отрезке Пусть так что Перейдём к пределу при в равенствах

(1.4)

(1.5)

и, согласно теореме о пополнении и определению интеграла Лебега, придём к формулам (1.2) и (1.3), где теперь производные понимаются в обобщённом смысле, а интеграл – в смысле Лебега. Для конкретных вычислений, разумеется, можно и нужно пользоваться формулами (1.4) и (1.5), взяв достаточно большое то есть вместо идеальных элементов воспользоваться их гладкими приближениями

1.3 Другое определение обобщённой производной

Пусть – множество всех непрерывно дифференцируемых на отрезке финитных функций Если теперь непрерывно дифференцируема на отрезке то для произвольной функции справедливо следующее интегральное тождество:

(1.6)

проверяемое интегрированием по частям. Этим тождеством полностью определяется.

Допустим, что, кроме того, для любых и некоторой непрерывной на отрезке функции

(1.7)

Вычитая эти тождества, получим, что для любых

Отсюда, вследствие плотности в на отрезке Оказывается, интегральное тождество (1.7) можно принять за определение обобщённой производной. Прежде всего, справедлива следующая лемма.

Лемма 1. Если то для любых справедливо тождество (1.6).

Доказательство. Пусть тогда для всех имеем (1.6):

Вследствие свойства непрерывности скалярного произведения в последнем равенстве можно перейти к пределу при В результате мы получим тождество (1.6) для любой функции Лемма доказана.