Пространства Соболева

Доказательство. Пусть непрерывно дифференцируема на отрезке Согласно теореме о среднем, вследствие непрерывности найдётся точка такая, чт

о Поэтому на отрезке справедливо следующее тождество:

С помощью неравенства Коши-Буняковского имеем

где Следовательно, для любой непрерывно дифференцируемой на отрезке функции справедливо неравенство

(1.8)

Пусть теперь последовательность – фундаментальная по норме Тогда

при Следовательно, фундаментальна в смысле равномерной сходимости и, по критерию Коши равномерной сходимости, сходится к Тем более в среднем. Таким образом, в классе из содержащим в качестве представителя, содержится непрерывная функция и, значит, этот класс можно отождествить с Отождествим элементы с непрерывными функциями. Пусть Переходя в неравенстве к пределу при придём к неравенству (1.8).

Итак, вложение в доказано. Доказательство теоремы закончено.

1.5 Пространства Соболева и

Пусть – односвязная область с достаточно гладкой границей В замкнутой области рассмотрим линейное пространство всевозможных непрерывно дифференцируемых функций со скалярным произведением

При этом

(1.9)

Полученное пространство со скалярным произведением обозначается а его пополнение – это, по определению, пространство Соболева

Пусть – фундаментальная последовательность в то есть при Отсюда следует, что в будут фундаментальными последовательности

Вследствие полноты в имеются элементы, которые мы обозначим

так что при в среднем

Элементы называются обобщёнными частными производными элемента

Скалярное произведение и норма задаются в теми же формулами, что и в в которых теперь производные обобщённые, а интегрирование понимается в смысле Лебега. Введем в рассмотрение пространство Это пространство является пополнением в норме

(1.10)

линейного пространства функций, непрерывно дифференцируемых на и таких, что является гильбертовым пространством со скалярным произведением

Лемма 3. Если а то

Доказательство. Достаточно доказать первую из этих формул. Она справедлива, если а Пусть – фундаментальная в последовательность, предел которой – элемент Переходя в тождестве к пределу при получим для любой Действительно, из сходимости в следует, что

 Скачать реферат