Пространства Соболева

то есть непрерывность скалярного произведения.

Пусть теперь – фундаментальная последовательность в Перейдём к пределу в тождестве и

получим исходное тождество.

Следствие. содержится строго внутри

Действительно, функция Но иначе мы имели бы то есть для любой Возьмём и получим противоречие.

Теорема 2 (Фридрихс). Существует постоянная такая, что для любых

Доказательство. По самому определению всякий элемент из принадлежит Пусть и сходится в к

Построим куб содержащий область Функции доопределим нулём в Частная производная существует всюду в за исключением, быть может, тех точек, в которых прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает границу области Для любой точки имеем

По неравенству Коши-Буняковского

Интегрируя полученное неравенство по находим

Так как вне то

Переходя к пределу при приходим к доказываемому неравенству Фридрихса.

Следствие 1. Пространство вложено в

Это предложение непосредственно вытекает из определения вложения банаховых пространств и неравенства Фридрихса.

Следствие 2. В нормы (1.9) и (1.10) эквивалентны.

Действительно, используя неравенство Фридрихса, имеем

2. Применение пространств Соболева в математической физике

2.1 Доказательство существования и единственности обобщённого решения уравнения Лапласа

Теорема 3 (Рисс). Пусть – гильбертово пространство. Для любого линейного ограниченного функционала заданного всюду на существует единственный элемент такой, что для всех

При этом

Доказательство приведено в [1, стр. 171].

Теорема Рисса эффективно применяется в теории разрешимости граничных задач для уравнений с частными производными. Будем говорить, что гильбертово пространство вложено в гильбертово пространство если из следует, что причём существует постоянная такая, что для всех

(2.1)

Имеет место следующее следствие из теоремы Рисса.

Теорема 4. Если гильбертово пространство вложено в гильбертово пространство то для каждого элемента найдётся единственный элемент такой, что для всех имеет место тождество

Тождество это определяет оператор такой, что при этом

Доказательство. При каждом фиксированном выражение при всевозможных определяет линейный ограниченный функционал на Линейность функционала очевидна. Его ограниченность вытекает из оценки

По теореме Рисса существует единственный элемент такой, что Тем самым всюду на задан линейный оператор Далее, из доказанного выше неравенства следует, что

 Скачать реферат