Прогнозирование функций по методу наименьших квадратов

Оценки математического ожидания, дисперсии и СКО рассчитаем по формулам:

(24)

M[xL]=1.284; D[xL]=0.848; σ[xL]=0.921

На рисунке 10 показана гистограмма и эмпирическая функция по сге

нерированной выборке:

Рисунок 10. (На рисунке показанная функций распределения, а так же гистограмма распределения значений по интервалам для случайной величины, распределенной по логнормальному закону распределения с выборкой 25).

4. Проверка близости по критерию χ2 Пирсона закона распределения расхождений наблюдений и сгенерированного шума

Проверим насколько расходятся значения при прогнозе и по тренду. Для этого определяются интервалы разбиения расхождений прогноза и вычисление вероятностей попасть в интервал по логнормальному закону с математическим ожиданием равным 0 и дисперсией 1 по формуле (9).

Далее посчитаем сумму квадратов расхождения между частотами и вероятностью попасть в интервал логнормального закона:

(25)

На основе суммы квадратов расхождения Δрасх можно посчитать расчетное значение критерия согласия Пирсона:

(26)

На полигоне частот (рисунок 11) показаны значения частоты распределения чисел по интервалам и вероятностей попадания в эти интервалы.

Теоретическое значение критического значения критерия Пирсона при уровне значимости α=0.1 и числом степеней свободы r=m-1 рассчитаем по формуле (11).

Рисунок 11.

(На рисунке показано расхождения между частотой попадания случайной величины в интервал и функцией распределения для попадания в этот интервал для выборок 25, 100, 500 и 1500. Случайная величина распределена по логнормальному закону распределения).

Ставится гипотеза: H0 – расхождение между прогнозом и трендом распределено по логнормальному закону

Так как в результате опытов выяснилось, что расхождение с ожидаемыми результатами велико, то в таком случае проверим правильность работы нашей модели, сгенерировав шум по нормальному закону распределения и проанализируем результаты.

Рисунок 12.

(На рисунке показано расхождения между частотой попадания случайной величины в интервал и функцией распределения для попадания в этот интервал для выборок 25, 100, 500, 1500 и 10000. Случайная величина распределена по нормальному закону распределения, для проверки взято теоретическое распределение с параметрами mx=0 и Dx=1).

Поставим гипотезу: H0 – расхождение между прогнозом и трендом распределено по нормальному закону распределения (с параметрами mx=0 и Dx=1).

Отвержение гипотезы H0 о распределении случайной величины по нормальному закону при выборках 1500 и 10000 с параметрами mx=0 и Dx=1 свидетельствует об изменении параметров закона распределения (т.к. нормальный закон устойчив к линейным преобразованиям и сам закон не меняется), что является следствием линейных преобразований. Используем для проверки гипотезы о законе распределения с помощью критерия Пирсона теоретический закон распределения с дисперсией, равной оценке дисперсии отклонения прогноза от тренда, вычисленной по методу моментов.

Рисунок 13.

(На рисунке показано расхождения между частотой попадания случайной величины в интервал и функцией распределения для попадания в этот интервал для выборок 25, 100, 500, 1500 и 10000. Случайная величина распределена по нормальному закону распределения, для проверки взято теоретическое распределение с параметрами mx=0 и Dx= DΔ (DΔ =1.343; 1.149; 1,235; 1.158; 1.141)).

Поставим новую гипотезу: H0 – расхождение между прогнозом и трендом распределено по нормальному закону распределения (с параметрами mx=0 и Dx=DΔ).

 Скачать реферат