На чём стоит математика

Возводившееся веками здание современной математики (здание, фундаментом которого является представление о числе) выглядит столь грандиозным и совершенным, что сама мысль о наличии в этом фундаменте изъянов кажется кощунственной. Уж точно кощунственным прозвучит утверждение, что все это циклопическое сооружение опирается на ложные представления - представление о "сплошности" (бесструкт

урности) математической прямой (хорошо известной нам числовой оси) и представление о бесструктурности математической точки. Очевидно, эти представления сформировались на основе других, более общих представлений о свойствах материи - о существовании в природе бесструктурных объектов - атомов. В этом можно увидеть признак определенного рода инерции нашего мышления. Ведь несмотря на то, что около века известен установленный факт о наличии у атома сложной структуры, мы по-прежнему зовем эти объекты атомами, т. е. "неделимыми". Но только ли в инерции дело? Скорее всего, дело здесь в дефиците принципиально новых, адекватных представлений о свойствах материи. Существует и еще одна причина появления ложных представлений о свойствах математической прямой - о ее "сплошности" и она заключается в следующем. Как уже упоминалось, числа возникли из практической потребности в счете и в оном качестве они существовали в течение довольно длительного промежутка времени. Но на определенном этапе эволюции представлений о числе произошел качественный скачок - т. н. "отрыв" числа от материального носителя. Это и обусловило появление абстрактных, идеальных объектов с произвольно приписанными им свойством "сплошности", т. е. бесструктурности - математической прямой и математической точки.

Манипуляции с объектоми, обладающими несуществующими свойствами не проходят даром, результатом их оказывается появление ложных объектов, таких, например, как бесконечные периодические и непериодические дроби, т. е. часть рациональных и все иррациональные числа. Эти математические объекты принципиально нельзя назвать числами, в рамках действия принципа структурной организации материи числа и обозначенные объекты имеют разный системный смысл. В чем заключается эта разница и что в таком случае представляет собой собственно число? Попробуем - хотя бы бегло, разобраться в этом.

Примем за точку отсчета утверждение, что первоначально числа возникли из потребности счета различных предметов. Что, по сути, являет собой процесс счета, как его можно описать?

Пусть мы имеем какое-то количество предметов, которые нам необходимо сосчитать. Абстрагируемся от всех конкретных свойств этих предметов, кроме двух: самого факта существования такого предмета и наличия у него внутренней структуры. Представим процесс счета как "нанизывание" наших предметов на какую-то условную нить. В результате подобной процедуры каждый такой предмет найдет на этой нити свое место. Если теперь мы вытянем эту нить в струну, то получим аналог математической прямой как некой идеальной системы, некоего одномерного идеального пространства. Каждому узлу в этой одномерной сети (идеальному аналогу реального предмета) можно сопоставить уникальный символ для его идентификации. Самым удобным в этом смысле является число, т. к. оно характеризует наиболее общее системное свойство каждого такого предмета - его место в упорядоченном (в отличие от обычного, неупорядоченного) множестве - пространстве.

Итак, мы приняли, что число - это информационный идентификатор места объекта в системе, в случае, если этот объект рассматривается в качестве элемента такой системы. Очевидно, при таком подходе для манипуляций с числами нет никакой необходимости "отрывать" их от материальных объектов - вместо этого появляется возможность манипулировать самими идеализированными объектами, тем самым осуществляя преобразования нашего идеального пространства. Этот момент чрезвичайно важен для построения новой физики - физики, которая рассматривает материальные объекты и явления как разнообразные деформации структуры физического вакуума.

Но пойдем дальше. Важнейшей особенностью построенного нами идеального пространства (как и любого пространства) является его структурность. В структуру нашего пространства входят элементы двух видов: те, которые соответствуют узлам и те, которые соответствуют связям между ними, но вместе они образуют целостную структуру. Таким образом, рассматриваемое пространство одновременно и сплошное, непрерывное и дискретное - в смысле неоднородности. Такое пространство совпадает с известным нам множеством натуральных чисел, изображаемых точками числовой оси.

------*-------*-------*-------*- .-*---- .

1 2 3 4 n

Математика определяется как наука, которая изучает действительный мир со стороны пространственных форм и количественных отношений. В этом смысле математическая прямая представляет специфическую модель этого мира, т. к. является одновременно и простейшей пространственной формой и вместилищем количественных отношений. Но насколько адекватной является такая модель в контексте существования структурной организации мира? Ответ следующий: она существенно неадекватна, потому что изначально задана как бесструктурный, "сплошной" объект. И традиционный алгоритм построения числовых множеств совершенно не отражает принцип структурности мира.

Структурность (или системность) мира предполагает иерархичность его организации, иначе это не системность. Смысл иерархичности понятен - каждый объект рассматривается как элемент какой-то системы и в то же время как система, каждый элемент которой также является системой, каждый элемент которой, в свою очередь, рассматривается как система, каждый элемент которой и т. д. до неизвестного нам предела (или, скорее всего, осмысления отсутствия последнего).

Какой ход рассуждений в обосновании логики понятия числа с учетом структурности мира можно считать более корректным? Попробуем рассуждать следующим образом. Вернемся к пространству, которое мы построили. Основными объектами нашего внимания являются узлы этой одномерной сети - абстрагированные от конкретных свойств предметы счета, фрагменты условной нити лишь связывают их. Узлы, как мы уже оговорили, имеют внутреннюю структуру. Отразим этот момент графически.

=======-=======-=======-=======- . -=======- .

1 2 3 4 n

Узлы на этой прямой растянуты - что дает нам возможность дробить их на фрагменты и изображены жирными отрезками. Связи - тонкими, поэтому здесь они имеют вид своеобразных промежутков, щелей между узлами и носят второстепенный характер. Таким образом, мы получили те же два основных вида элементов, что и на традиционной прямой, но манипулируя с точками жирных отрезков, мы как бы тем самым манипулируем элементами систем (объектов счета), которые они изображают. Измерение различных величин, изображаемых отрезками, в этом контексте можно рассматривать как сравнение систем.

Итак, мы несколько видоизменили математическую прямую: мы растянули узлы, чтобы стала доступной для манипуляций их структура, постулировали изначальную структурность прямой, введя в ее состав элементы двух качественно различных видов (что совершенно не противоречит принципу структурности мира) и тем самым как бы построили новое пространство, элементы которого идентифицировали натуральными числами. Логика обоснования нашего натурального ряда не противоречит логике построения традиционной числовой оси.

 Скачать реферат