На чём стоит математика

либо m = n;

либо m < n;

либо n < m;

Множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения, умножения и вычитания, т. е. для любых двух данных целых чисел существует единственное третье целое число, являющееся их суммой; существует единственное целое число, являющееся их разностью и, наконец, единственное целое число, являющееся из произведение. Относительно операции де

ления множество целых чисел не является замкнутым - частное от деления целого числа на нуль либо не существует, либо определено не единственным образом.

.--*-- . --*----*----*----*----*----*----*-- . --*-- .

-n -3 -2 -1 0 1 2 3 n

Рациональные дроби появились, как форма записи чисел, более "мелких", нежели натуральные. Рациональную дробь записывают в виде m/n, где целое число m называют числителем дроби, а целое число n не равное нулю - ее знаменателем.

Натуральные числа, целые числа, рациональные дроби и нуль образуют множество рациональных чисел. Рациональное число - это такое число, которое может быть представлено в виде m/n, где |m| и n - взаимно простые (несократимые) натуральные числа. В случае, когда m не делится на n нацело, частное от деления m на n представляет собой не совпадающее ни с каким целым числом рациональное число.

Всякое рациональное число m/n может быть представлено либо в виде конечной, либо в виде бесконечной периодической дроби; обратно, любая конечная, а также любая бесконечная периодическая десятичная дробь есть запись некоторого рационального числа.

Последнее утверждение (особенно в части, касающейся бесконечных десятичных периодических дробей) вызывает определенные сомнения, суть которых будет изложена ниже. Сейчас же продолжим тему цитированием фрагмента текста из учебника Н. Н. Лузина "Дифференциальное исчисление" (Москва, "Высшая школа", 1961 г.).

"Считается, что одних только рациональных чисел вполне достаточно для нужд измерительной практики, ибо они позволяют выполнять измерения с какой угодно степенью точности. Но одних только рациональных чисел становится уже недостаточно, когда надо решать вопросы геометрии, механики и теоретической физики с абсолютной точностью, ибо здесь необходимо уже знание так называемых иррациональных чисел. Как возникают эти новые числа и как их следует понимать?

Последовательность рациональных чисел сама по себе есть всюду плотная, ибо между двумя такими числами - какими бы близкими друг к другу они ни были - всегда можно найти сколько угодно промежуточных рациональных чисел. Поэтому-то на первый взгляд и кажется, что для каких-нибудь новых чисел в последовательности рациональных чисел как будто совсем не остается никакого места.

Однако указанное первое впечатление оказывается глубоко ошибочным, потому что в последовательности рациональных чисел повсюду имеются просветы, как это становится ясным, когда сопоставим последовательность всех рациональных чисел с последовательностью точек на прямой линии.

----------*===================*----------

O a M

Чтобы осуществить такое сопоставление, возьмем прямую линию бесконечную в обе стороны, на ней выберем начальную точку O и примем определенную единицу длины для измерения отрезков. Очевидно, всегда можно построить отрезок, имеющий своею длиною любое заранее заданное рациональное число a и нанести его вправо либо влево от O, смотря по тому, будет ли a положительно или отрицательно. Таким образом мы получили определенную концевую точку M, которую можно рассматривать как точку, соответствующую рациональному числу a. Следовательно, можно сказать, что всякому рациональному числу соответствует одна и только одна точка на прямой.

Полученную точку M мы изображаем черной и непрозрачной; она-то и сопоставляется с взятым рациональным числом a, называющимся абсциссой точки M. Когда это проделано со всяким рациональным числом a, прямая окажется покрытой густой сетью черных непрозрачных точек M, как бы осевших на прямой и населяющих - без пустот - каждый ее участок, т. е. отрезок, где бы он ни лежал и как бы мал он ни был. У всякой из этих точек M имеется своя абсцисса a, являющаяся рациональным числом. Чем больше арифметически, т. е. беззначно, величина абсциссы a, тем дальше от начала O лежит точка M.

Это и есть искомое нами сопоставление последовательности рациональных чисел с точками прямой, при котором все точки M полученной черной непрозрачной сетки имеют, очевидно, совершенно такое же взаимное расположение друг относительно друга, какое имеют между собой их рациональные абсциссы a. Конец M всякого отрезка OM, соизмеримого с взятой единицей длины, заведомо содержится в сети, ибо такая точка M имеет рациональную абсциссу. Точки с рациональными абсциссами мы, для краткости речи, будем называть просто рациональными точками и составленную из таких точек сеть будем называть тоже рациональной сетью.

Если бы каждая точка прямой оказалась содержащейся в построенной нами сети, т. е. если бы совсем не существовало никаких несоизмеримых отрезков, тогда все дело обстояло бы необыкновенно просто: в этом случае каждая точка нашей прямой имела бы рациональную абсциссу и, значит, мы не имели бы ни малейшей нужды в каких-либо новых числах, ибо тогда одних только рациональных чисел было бы достаточно для выражения всех теоретических соотношений.

Но действительность оказывается гораздо сложнее, и одним из великих открытий, сделанных в глубокой древности, является установление наличия отрезков, несоизмеримых с данной единицы длины. По-видимому, первым примером этого рода была диагональ квадрата, сторона которого принята за единицу длины.

Отложив такой отрезок от начала O, мы получим точку M, которая не соответствует никакому рациональному числу и у которой, строго говоря, пока нет никакой абсциссы.

-------*===================*=======*-------

O 1 M

А так как имеется бесчисленное множество различных длин, несоизмеримых с единицей масштаба, то прямая линия оказывается в бесконечное число раз больше богатой своими точками, чем последовательность рациональных чисел своими числами. Значит, рассматриваемое сопоставление точек и чисел вынуждают нас признать некоторую неполноту в последовательности рациональных чисел, тогда как прямой линии мы приписываем всю полноту и абсолютное отсутствие каких-либо просветов, т. е. сплошность или непрерывность.

Поскольку последовательность рациональных чисел оказывается недостаточной, является необходимость в пополнении нашей последовательности чисел таким образом, чтобы она получила такую же сплошность, т. е. полноту или непрерывность, как и сама прямая линия. Это достигается введением иррациональных чисел, определяемых лишь при посредстве рациональных чисел.

Итак, мы пришли к следующему положению: иррациональные числа совершенно заполняют все просветы, имеющиеся в последовательности рациональных чисел, т. е. мы принимаем, что всякой точке прямой соответствует число, рациональное или иррациональное, называемое абсциссой этой точки, и обратно.

Арифметически же иррациональные числа могут быть представлены в виде бесконечных десятичных дробей.

 Скачать реферат