Целочисленные функции

2 случай: если , то , так как f – убывающая функция; (в силу того, что функция «пол» — неубывающая).

Если , то существует такое чи

сло , что и (так как f непрерывна). Поскольку f(y) целое, то по условию целое. А это противоречит тому, что между x и éxù не может быть никакого целого числа. Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Задача 6.

Решите рекуррентность при целом

при ,

при .

Решение:

Покажем, что методом математической индукции по .

База: : из того, что , следует, что , тогда и , поэтому для выполняется .

Переход: пусть для некоторого номера и для меньших номеров утверждение верно: .

Докажем, что .

=.

Что и требовалось доказать.

Задача 7.

Докажите принцип ящиков Дирихле: если n предметов размещены по m ящикам, то некоторый ящик должен содержать не меньше чем én/mù предметов, а некоторый ящик должен содержать не более чем ën/mû.

Решение:

Предположим, что каждый ящик содержит меньше, чем én/mù предметов. Тогда наибольшее количество предметов в каждом ящике — это предметов. Следовательно, наибольшее количество предметов, размещённых по ящикам — это Þ Þ . Это противоречит тому, что .

Значит, существует ящик, который содержит не менее чем én/mù предметов.

Предположим, что нет ящика, в котором не более, чем ën/mû предметов, т.е. каждый ящик содержит более чем ën/mû предметов. Тогда наименьшее количество предметов в каждом ящике — . Следовательно, наименьшее количество предметов, размещённых по ящикам — это Þ Þ . Это противоречит тому, что .

Значит, существует ящик, который содержит не более чем ën/mû предметов.

Что и требовалось доказать.

Задача 8.

Покажите, что выражение всегда равно либо ëxû, либо éxù. При каких условиях получается тот или иной случай?

Решение:

1 случай: x = (4k-1)/2, kÎZ

Тогда , так как - целое число.

Получим ====

2 случай: x ¹ (4k-1)/2, k Î Z, тогда .

Получим ==

Итак, данное выражение округляет числа до ближайшего целого; в случае «равновесия» — когда x лежит ровно посередине между целыми числами — данное выражение округляет число в сторону чётного.

Задача 9.

Докажите, что при любом целом n и любом целом положительном m.

Доказательство:

Пусть .

Покажем, что .

Имеем Û

Û (по свойствам (4)) Û

Û Û

Û Û

Û Û

Û Û

Û

Что и требовалось доказать.

Задача 10.

Пусть α и β — вещественные положительные числа. Докажите, что Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел тогда и только тогда, когда α и β иррациональны и .

 Скачать реферат