Целочисленные функции

Рефераты / Математика / Целочисленные функции

Решение:

Число элементов в Spec(α), которые не превосходят n:

Число элементов в Spec(α/(α+1)), которые не превосходят n:

Итак, получили, что.

Покажем на основе этого, что чисел равных в Specбудет на 1 больше, чем в Spec().

При если , тогда .

Пусть в Spec() элементов не превосходящих будет , тогда число элементов в Spec() равных будет . Подсчитаем количество элементов в Specравных :

Что и требовалось доказать.

Ответ: чисел равных в Specбудет на 1 больше, чем в Spec().

Задача 18.

На шахматной доске клеток симметрично начерчена окружность с диаметром единиц. Через сколько клеток доски проходит данная окружность?

Решение:

Радиус окружности равен .

Горизонтальных прямых, не являющихся сторонами квадрата — ().

Вертикальных прямых, не являющихся сторонами квадрата — ().

Окружность каждую из указанных прямых пересекает в двух точках. Она не проходит через углы клеток. Действительно, если предположить, что данная окружность проходит через какой-нибудь угол клетки, то существуют такие целые числа и , для которых выполняется теорема Пифагора: , но — целое число, а — не целое. Получили противоречие. Следовательно, окружность не проходит через углы клеток.

Каждую клетку окружность пересекает в двух точках, а каждая точка пересечения принадлежит двум клеткам. Следовательно, окружность проходит через столько клеток доски, сколько имеется точек пересечения её с прямыми: .

Ответ: клеток.

Задача 19.

Говорят, что f(x) является репликативной функцией, если

f() = f() + f + … + f

при каждом целом положительном m. Укажите, какому необходимому и достаточному условию должно удовлетворять вещественное число c, чтобы функция f(x) = x+c являлась репликативной.

Решение:

f(x) = x+c — репликативна Û

Û Û