Целочисленные функции

Решение:

Пусть α и β — вещественные положительные числа.

Докажем, что если Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел, то α и β — иррациональные числа и .

Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел, тогда ght=24 src="images/referats/11779/image180.png">.

Þ

Þ Þ

Þ Þ

Þ Þ

Þ

Рассмотрим Þ

Þ .

Докажем, что α и β иррациональны. Так как , то числа α и β либо оба рациональны, либо оба иррациональны.

Если α и β оба рациональны, т.е. существует такое целое число m, что и , где и — натуральные числа, тогда ÎSpec(α) и ÎSpec(β).

Но никакое число не содержится одновременно в двух спектрах, образующих разбиение всех целых положительных чисел. Следовательно, α и β — иррациональны.

Докажем обратное: если α и β иррациональны и , то Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех целых положительных чисел.

Þ

Так как и — иррациональны, то и — не целые числа, то

и

Отсюда получаем:

(так как и и — иррациональны, то ).

Получаем, что. Отсюда Spec(α) и Spec(β) образуют разбиение всех натуральных чисел.

Что и требовалось доказать.

Задача 11.

Докажите, что при целом n.

Доказательство:

· если (или ), то ,

тогда .

Получаем верное равенство .

· если , тогда .

Правая часть имеет вид: .

Преобразуем левую часть:

.

Получили, что при любом целом . Что и требовалось доказать.

Задача 12.

Имеется ли аналогичное (16) тождество, в котором вместо «полов» используются «потолки»?

Решение:

Тождество (16) получается из тождества (15) заменой n на ëmxû.

Аналогичное тождество для потолков получается из тождества (14) заменой n на émxù:

émxù ==

==

Итак, получили тождество аналогичное данному:

émxù =.

Задача 13.

Докажите, что . Найдите и докажите аналогичное выражение для вида , где ω – комплексное число .

Доказательство:

При делении числа на 2 возможны только два различных остатка: либо 0, либо 1.

· если , то и .

· если , и .

 Скачать реферат