История чисел и счисления

Расчленение числа на классы обозначается также не однообразно. В одних странах разделяют классы точ­ками (15.000.000), в других — запятыми (15,000,000). У нас привился разумный обычай не помещать между классами никакого знака, а оставлять лишь пробел (15000000).

Поучительно проследить за тем, как меняется способ наименования одного и того же числа с переходом от одного языка к другому. Числ

о 18, например, мы назы­ваем «восемнадцать», т. е. произносим сначала еди­ницы (8), потом десятки (10). В такой же последователь­ности читает это число немец: achtzehn, т. е. 8-10. Но француз произносит иначе: 10-8 (dix-huit). Насколько разнообразны у разных народов способы наименования того же числа 18, показывает следующее извлечение из таблицы, составленной одним исследователем:

по-русски … 8-10

по-немецки . 8-10

по-французски…10-8

по-армянски .…10+8

по-гречески .…. 8+10

по-латыни … без 2 20

по-новозеландски 11+7

по-валлийски … 3+5-10

по-литовски .… 8 сверх 10

по-айносски …….10 — 2 сверх 10

по-коряцки …… 3-5 сверх 10

Курьезно наименование для того же числа 18 у од­ного гренландского племени: «с другой ноги 3». При всей своей необычности это название, естественно, объясняется способом счета по пальцам рук и ног. Сходным образом объясняется карибское наименование числа 18: «все мои руки, 3, моя рука». [№1, стр. 26-28]

Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления — особенно последнее, «Умноженье — мое мученье, а с делением — беда», — говорили в старину. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приема для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть не дюжина различных способов умножения и деления — приемы один другого запутаннее, твердо запомнить ко­торые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счетного дела держался своего излюбленного приема, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1914) изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом, рукописных сборниках». Наш современный способ умножения описан там под названием «шахматного». Был также и очень интересный, точный, легкий, но громоздкий способ «галерой» или «лодкой», названный так в силу того, что приделении чисел этим способом получается фигура, похожая на лодку или галеру. У нас такой способ употреблялся до середины XVIII века. На протяжении своей книги в 640 страниц Леонтий Магницкий («Арифметика» - старинный русский учебник математики, которую Ломоносов называл «вратами своей учености») пользуется исключительно способом «галеры», не употребляя, впрочем, этого названия.

Упоминаются такие способы, как «загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие многие другие. Многие такие приемы для умножения чисел долгие и требуют обязательной проверки.

Любимым приемом проверки был так называемый «способ девятки». Этот изящный прием нередко описы­вается и в современных арифметических учебниках, осо­бенно иностранных.

Проверка девяткой основана на «правиле остатков», гласящем: остаток от деления суммы на какое-либо число равен сумме остатков от деления каждого слагаемого на то же число. Точно так же остаток произведения ра­вен произведению остатков множителей. С другой сто­роны, известно также, что при делении числа на 9 полу­чается тот же остаток, что и при делении на 9 суммы цифр этого числа; например, 758 при делении на 9 дает остаток 2, и то же получается в остатке от деления (7 + 5 + 8) на 9. Сопоставив оба указанных свойства, мы и приходим к приему проверки девяткой, т. е. деле­нием на 9.

Интересно, что и наш способ умножения не является совершенным; можно придумать еще более быстрые и еще более надежные. Одно из таких усовершенствований увеличивает надежность выполнения умножения. Оно состоит в том, что при многозначном множителе начинают с умножения не на последнюю, а на первую цифру множителя. Выглядит это так:

8713

Х 264

17426

52278

34852

2300232

Последнюю цифру каждого частного произведения подписывают под той же цифрой множителя, на которую умножают.

Преимущество подобного расположения в том, что цифры частных произведений, от которых зависят первые, наиболее ответственные цифры результата, получаются в начале действия, когда внимание еще не утомлено и, следовательно, вероятность сделать ошибку – меньшая.

Самым, на мой взгляд, «родным» и легким способом умножения является способ, который был употребителен у русских крестьян. Этот прием вообще не требует знания таблицы умножения дальше числа 2. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и дает искомый результат. В случае нечетного числа надо откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением. [№1, стр. 50] Например:

23 х 17 ·

11 х 34 ·

5 х 68 ·

2 х 136

1 х 272; результат 272 + 68 + 34 + 17 = 391.

§3 Устный счет.

Жизнь для внимательного человека не только удивительно разнообразна, но и гениально проста. В полной мере эта фраза относится и к устному счету. Часто при арифметических действиях над числами можно облегчить свой труд, если знать основы арифметики и обладать некоторой смекалкой. Д.Р.Гончар рассказывает о следующих особенностях чисел, помогающих упростить счет:

Промежуточное приведение к «круглым» числам. Если хотя бы одно слагаемое близко к «круглому» числу десятков, сотен и др., т. е. А*10n – z, где z – сравнительно малое число, то вычисления можно упростить, приведя одно из слагаемых к ближайшему «круглому» числу и выполнив более легкое вычисление (затем, разумеется, учтя поправку).

Приведу пример, так как понять «с ходу» такой способ нелегко. (Дальше на каждый способ также будут приводиться примеры)

54 + 95 = 50 + 4 + 100 – 5 = 150 + 4 – 5 = 150 – 1 = 149.

Как видно из примера, полезно приводить слагаемые и к числам, кратным 50, 25 и т. д. Все зависит от конкретного случая и, повторюсь, от вашей смекалки. Такой способ кажется мне самым распространенным, причем многие проделывают такие вычисления автоматически, совсем не задумываясь над математическим смыслом и логичностью способа и уж тем более не догадываясь как он называется. Такому приему даже не надо учить, люди сами осваивают его в процессе изучения математики, постоянно сталкиваясь с такого рода вычислениями и ища пути полегче.

 Скачать реферат