История чисел и счисления

К сходным приемам прибегают и при умножении на числа, больше 100. Если подобные искусственные приемы утомительны, мы всегда, конечно, можем умно­жить с помощью счетов по общему правилу, умножая каждую цифру множителя и записывая частные произ­ведения — это все же дает некоторое сокращение вре­мени,

Выполнять с помощью конторских счетов деление гораздо труднее, чем умножать: для этого нужно

запом­нить целый ряд особых приемов, подчас довольно за­мысловатых.

Делить на 2 очень просто.

Гораздо сложнее прием деления на 3: он состоит в за­мене деления умножением на бесконечную периодиче­скую дробь 0,333 . (известно, что 0,333 = ) Умно­жать с помощью счетов на 3 мы умеем; уменьшить в 10 раз тоже несложно: надо лишь переносить делимое одной проволокой ниже. После недолгого упражнения этот прием деления на 3, на первый взгляд длинноватый, оказывается довольно удобным на практике.

Деление на 4, конечно, заменяется двукратным деле­нием на 2.

Еще проще деление на 5: его заменяют делением на 10 и удвоением результата.

На 6 делят в два приема: сначала делят на 2, потом полученное делят на 3.

Деление на 7 выполняется с по­мощью счетов чересчур сложно, и потому здесь изла­гать его не буду.

На 8 делят в три приема: сначала на 2, потом полу­ченное вновь на 2 и затем еще раз на 2.

Очень интересен прием деления на 9. Он основан на том, что = 0,1111 . Отсюда ясно, что вместо деления на 9 можно последовательно складывать 0,1 делимого + 0,01 его и т. д.

Всего проще, как видим, делить на 2, 10 и 5 и, ко­нечно, на такие кратные им числа, как 4, 8, 16, 20, 26, 40, 50, 75, 80, 100. Эти случаи деления не представляют трудности и для малоопытного счетчика. [№1, стр.36-38]

Попробовав на своем опыте нехитрые вычисления на счетах, я осознал всю легкость такого счета. Конечно, мне не хватало долговременной практики, но я уверен, что у опытного мастера счеты в руках – отличная замена карманному калькулятору. Понаблюдать за работой опытного «счетчика» я пошел в ближайший овощной магазин. Там работает продавец, которого я помнил с тех пор, как переехал на свою последнюю квартиру. Уже пожилой торговец, как часто бывает, не мог бросить старый метод и в начале 21-го века все считал на счетах. Да не просто считал, а считал чуть ли не быстрее «продвинутых» с электронными калькуляторами. Это ли не доказательство того, что счеты – изобретение на века?

§2 Умножение и деление без приборов.

Длительное время счет чисел выполняли только устно с помощью каких-либо предметов – пальцев, камешков, ракушек и др., а позже на специальных приборах – абаке, счетах. Только после того, как была изобретена позиционная система счисления и числа стали записывать цифрами индийские мудрецы нашли способ сложения чисел в письменном виде. При вычисле­ниях они записывали числа па­почкой на песке, насыпанном на специально приготовленную дос­ку. Цифры, изображенные на пес­ке, легко было стирать, а на их ме­сте записывать другие. Вероятно, этим можно объяснить некоторые особенности индийского приема сложения чисел.

В Древней Индии было принято записывать слагаемые в стол­бик — одно под другим; сумму же записывали над слагаемыми, сло­жение начинали с наивысшего разряда, т. е. слева направо. Если записанная в сумме цифра при сложении последующего низшего разряда изменялась, то ранее за­писанную цифру стирали, а на ее место вписывали новую.

С XV века способ письменного сложения чисел принял современный вид. [№2, стр. 81-82]

Привожу краткую справку о том, когда впервые появились общеупотребительные теперь знаки арифметических действий и другие математические операторы:

+ и - в рукописях Леонардо-да-Винчи (1452-1519). В начале XV века действие сложения стали обозначать начальной буквой слова «плюс» (по латыни Р), что означало «сложить». До этого долгое время слагаемые просто записывали друг против друга без всякого знака. Древние египтяне обозначали сложение особым знаком – рисунком шагающих ног. Название «слагаемое» впервые встречается в работах математиков XIII в., а понятие «сумма» до XV века означало результат любого из четырех арифметических действий. Для обозначения вычитания в III в. до Н. э. В Греции использовали перевернутую букву пси (Ψ). Итальянские математики пользвались для обозначения вычитания буквой μ, начальной в слове «минус». Торговцы XVI в., отливая для продажи вино из бочек, черточкой мелом обозначали число мер проданного вина (вероятно, так произошел знак -). Чтобы отличить знак минус от тире, Л.Ф.Магницкий обозначал вычитание знаком ÷.

Х в сочинении Утреда (1631). Для обозначения действия умножения в XVI в. в Европе употребляли букву М, которая была начальной в латинском слове, обозначавшем увеличение – «мультипликация». В конце XVIII в. большинство математиков стали употреблять для обозначения умножения точку, но допускали и употребление косого креста.

. и : в сочинении Лейбница (1646-1716). На протяжении тысячелетий действие деления не обозначали каким-либо знаком – его просто называли и записывали словом. Индийские математики первыми стали обозначать деление первой буквой этого слова. До знака : у некоторых математиков встречался знак ÷ для обозначения деления.

в сочинении Фибоначчи (1202). Арабы ввели для обозначения деления черту. От арабов этот знак перенял итальянский математик Фибоначчи.

аnв сочинении Шюке (1484)

= в сочинении Р. Рекорда (Риккорда) (1557). Сам Риккорд объяснял этот знак так: «Никакие два предмета не могут в большей степени быть равны между собой, как две параллельные линии». Знак = стал общепризнанным благодаря авторитету знаменитого немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница.

( ) и [ ] в сочинении Жирара. [№1, стр. 54; №2, стр. 80-87]

Предки наши пользовались гораздо более громозд­кими и медленными приемами счисления. И если бы школьник XX века мог перенестись за четыре, за три века назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибоч­ностью своих арифметических выкладок. Молва о нем облетела бы окрестные школы и монастыри, затмив славу искуснейших счетчиков той эпохи, и со всех сторон приезжали бы учиться у нового великого мастера счет­ного дела.

Принято думать, что арифметические знаки до из­вестной степени интернациональны, что они одинаковы у всех народов европейской культуры. Это верно лишь по отношению к большинству знаков, но не ко всем. Знаки + и -, знаки х и : употребляются в одинаковом смысле и немцами, и французами, и англичанами. Но точка, как знак умножения, применяется не вполне тож­дественно разными народами Одни пишут 7 . 8, другие — 7 • 8, поднимая точку на середину высоты цифры. То же приходится сказать о знаке дробности, т. е. о знаке, от­деляющем десятичную дробь от целого числа. Одни пи­шут как мы, 4,5, другие 4.5, третьи 4·5, помещая точку выше середины. Англичане и американцы совсем опу­скают ноль перед десятичной дробью, чего на конти­ненте Европы никто не делает. В американской книге вы встречаете такие обозначения, как .725 или •725, или даже ,725 — вместо нашего 0,725.

 Скачать реферат