Геометрические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Задача о брахистохроне с фиксированной абсциссой правого конца

Задача. Среди гладких кривых, начинающихся в точке (а, А)= (0, 0) и оканчивающихся на прямой x = b > 0, найти кривую наискорейшего спуска.

Решение. Время спуска Т(у) на кривой Y=y(x) определяется интегралом

Лагранжевыми кривыми в данном случае явля

ются циклоиды вида

Условие трансверсальности в данном случае принимает вид

Искомая циклоида должна пересекать прямую х=b ортогонально.

Вершина циклоиды необходимо лежит на прямой х=b.

Задача о расстоянии до кривой

Задача. Среди гладких кривых Y = y(x), начинающихся в точке (а, А) и оканчивающихся на кривой L с уравнением Y= Ф(x), найти кривую наименьшей длины, т.е. найти расстояние от (а, А) до кривой L.

Решение. Длина s(y) кривой

Y = y(x), y(a) = A, y[ β(λ) ] = Ф[ β, λ ]

определяется интегралом

s(y)=.

Лагранжевыми кривыми в данном случае являются, очевидно, прямые

.

Условие трансверсальности

принимает вид:

или

1 + = 0.

Следовательно, искомая прямая Y = y(x) должна пересекать кривую L ортогонально.

Из проведенных рассуждений также следует, что отрезок наименьшей длины, соединяющей кривыеи должен быть ортогональным и к и к .

Геодезические линии на кривой поверхности

Рассмотрим точки А и В на поверхности, изображенной на рисунке. Среди всех кривых, которые мы можем провести на этой поверхности из точки А в точку В, существует одна кратчайшая. Она называется геодезической. Эту геодезическую линию мы и будем отыскивать. Один из способов определить эту геодезическую есть определение ее проекции на плоскость ху. Уравнение проекции А'В' вместе с уравнением поверхности вполне определяют геодезическую линией. Пусть уравнение поверхности есть z = Ф(x, y).

Тогда, если х и у получат приращения dx и dy, то z получит приращение:

Следовательно, для элемента длины дуги ds имеем:

Предположим, что точки А и В соединены произвольной кривой, проекция которой на плоскость ху есть у = у(х). Тогда длина кривой равна:

Минимум этого интеграла мы ищем.

В качестве примера рассмотрим случай параболического цилиндра, изображенного на следующем рисунке; его

z = b

Отсюда

т. е. (1) обращается в

Можно получить из этого интеграла дифференциальное уравнение геодезической линии обычным способом, который был уже подробно разъяснен, так что не стоит этого повторять. Это уравнение будет:

Легко решить это уравнение. Решение дает семейство кривых на поверхности, обладающих тем свойством, что если на какой-нибудь из кривых мы отметим пару точек, то расстояние по этой кривой между этими точками меньше расстояния между ними по любой другой кривой. Если мы хотим найти геодезическую линию, проходящую через две заданные точки, то, выбирая координаты этих заданные точки, точек в качестве граничных значений, можем определить постоянные интеграции в общем решении.

Задача о геодезической линии

Задача. Определить линию наименьшей длины, соединяющую точки (a, и (b, по поверхности G(x, y, z) = 0.

Решение. Длина пространственной кривой у = у(х), z = z(x),определяется интегралом

s(y, z)=.

Строим функцию Лагранжа:

F*=

Для определения экстремали получаем систему Эйлера

λ= 0

λ= 0

которую следует решать с учетом уравнения связи G = 0 и граничных условий.

Задача о криволинейной трапеции с наибольшей площадью

Задача. Среди кривых y, соединяющих точки (a, A) и (b, B), где A, B>0, и имеющих заданную длину l, >+,найти такую, чтобы криволинейная трапеция, ограниченная сверху этой кривой, имела наибольшую площадь. Другими словами, найти максимум функционала

s(y)=

при граничных условиях

y(a)=A, y(b)=B

и изопериметрической связи

=l.

Решение. Вспомогательная функция имеет в данном случае вид

.

Функционал является специальным, ибо не содержит x явно, поэтому вариационное уравнение Эйлера для этого функционала имеет первый интеграл

или

y-.

Для интегрирования последнего уравнения введем вспомогательный параметр t, пологая . Тогда

 Скачать реферат