Зависимость потребления бензина от количества автомобилей

Рефераты / Математика / Зависимость потребления бензина от количества автомобилей

Изобразим эти точки в виде точечного графика с соответствующими координатами (, ); для этого надо найти размах выборки по X и Y и выбрать соответствующий масштаб. Сначала находим и ght=23 src="images/referats/11809/image017.png">, затем размах выборки по X, которая вычисляется по формуле и в результате равна 52,61062. Аналогично и , а размах выборки поY получим равный 35,511. Глядя на размах выборок по X и по Y, выбираем масштаб диаграммы рассеивания и строим её.

рис.1. Диаграмма рассеивания

По формуле где

можно найти коэффициент корреляции:

Он не равен нулю, следовательно, зависимость между X и Y существует.

Построение прямой y=ax+b, наименее отклоняющейся от точек (Xi;Yi)в среднем квадратичном

Для построения прямой y = ax + b, наименее отклоняющейся от точек в среднем квадратичном, необходимо методом наименьших квадратов определить числа a, b такие, что функция двух переменных принимает минимальное значение. Данная функция имеет вид:

Зная, что необходимым условием минимума функции является равенство нулю ее первых частных производных, имеем следующую систему для нахождения значений :

Данная система может быть представлена в виде:

где

В результате получим что:

Докажем теперь, что в точке функция имеет минимум. Достаточным условием существования экстремума функции двух переменных является следующее неравенство:

Для доказательства введем следующие обозначения:

Составим дискриминант . Тогда, если , то функция имеет в точке экстремум, а именно минимум при А>0 (или С>0). Из системы видно, что эти условия выполняются: = , С=200>0.

То есть точка действительно является точкой минимума.

Следовательно, функция при данных значениях имеет следующий график:

рис.2. График уравнения линейной регрессии

Построение кривой y=px2+qx+r, наименее отклоняющейся от точек (Xi;Yi) в среднем квадратичном

Для построения кривой , наименее отклоняющейся от точек в среднем квадратичном, необходимо методом наименьших квадратов определить числа , и такие, что функция трех переменных принимает минимальное значение. Данная функция имеет вид:

Аналогично нахождению значений для прямой составляем систему трех линейных уравнений, которая является необходимым условием минимума функции:

Данная система является системой линейных однородных уравнений. Решая эту систему методом Крамера и зная, что:

составляем определители, состоящие из коэффициентов при и столбца свободных членов.

Значения находим делением соответствующих определителей.

= = =

Докажем теперь, что в точке функция имеет минимум. Достаточным условием существования минимума функции трех переменных является следующее неравенство: