Зарождение и создание теории действительного числа

Таким образом, Вейерштрасс построил вещественное число. Стоит отметить, что он не приравнивает число к ряду, тем самым избегает логической ошибки своих предшественников. Из этого построения видно, что оно определяет взаимооднозначное соответствие: с одной стороны из рационального чисел можно построить вещественной число, с другой каждое вещественной число можно определить некоторым построением

из вещественных чисел. Кроме того, оно использует актуально бесконечные множества.

Стоит еще раз подчеркнуть, что Вейерштрасс в своем определении вещественного числа исходит только из арифметики, не связывая их с точками на прямой.

Построение вещественных чисел позволило перейти от механического, геометрического понятия предела к теоретико-множественному. Также при помощи строго определения понятия числа Вейерштрасс развил теорию аналитических функций. Также в работах Вейерштрасса встречается прообраз того, что мы называем мощностью множеств.

4.2 Георг Кантор

Родился 3 марта 1845 в Санкт-Петербурге и рос там до 11-летнего возраста. Отец семейства был членом Петербургской фондовой биржи. Когда он заболел, семья, рассчитывая на более мягкий климат, в 1856 году переехала в Германию: сначала в Висбаден, а потом во Франкфурт. В 1860 году Георг закончил с отличием реальное училище в Дармштадте; учителя отмечали его исключительные способности к математике, в частности, к тригонометрии. Продолжил он образование в Федеральном политехнический институте в Цюрихе. Спустя год, после смерти отца, Георг получил наследство и перевёлся в Берлинский университет. Там он посещает посещает лекции Кронекера, Вейерштрасса, Куммера. Лето 1866 года Кантор провёл в университете Гёттингена, важном центре математической мысли. В 1967 году в Берлине получил степень доктора за работу по теории чисел «De aequationibus secundi gradus indeterminatis».

После непродолжительной работы преподавателем в Берлинской школе для девочек, Кантор занимает место в Галльском университете Мартина Лютера, где и пройдёт вся его карьера. В 1872 году он становится адъюнкт-профессором, тогда же, во время отпуска, завязывает дружбу с Рихардом Дедекиндом. В 34 года Кантор становится профессором математики. В 1879-84 он систематически излагает своё учение о бесконечности; «ввёл понятия предельной точки, производного множества, построил пример совершенного множества, развил одну из теорий иррациональных чисел, сформулировал одну из аксиом непрерывности» [8]. Несмотря на такую успешную карьеру, мечтает о должности в более престижном университете, например, Берлинском. Однако, мечтам не удаётся воплотиться в жизнь: многие современники, в том числе Кронекер, который рассматривается сейчас как один из основателей конструктивной математики, с неприязнью относятся к канторовской теории множеств, поскольку та утверждает существование множеств, удовлетворяющих неким свойствам, — без предоставления конкретных примеров множеств, элементы которых бы действительно удовлетворяли этим свойствам.

В 1984 году Кантор испытал приступ глубокой депрессии и на время отходит от математики, смещая свои интересы в сторону философии. Затем возвращается к работе. В 1897 году он прекращает научное творчество. Умер Кантор в Галле 6 января 1918.

Одна из актуальных проблем XIX века была проблема бесконечного деления отрезков и существование точки , принадлежавшей всем таким стягивающимся отрезкам. Эта задача требовала понятия действительного числа.

Построение Кантором теории действительного числа было опубликовано 1872 году, почти одновременно с теорией Вейерштрасса и Дедекинда. В своем построении Кантор исходит из наличия рациональных чисел. Затем он вводит фундаментальные последовательности Коши и приписывает им формальный предел. Далее, он рассматривает разбивает все последовательности на классы эквивалентности. К одному и тому же классу последовательности относятся тогда и только тогда, когда их разность стремится к нуль, то есть . Далее, формальные пределы равны друг другу, если они имеют две такие фундаментальные последовательности, которые эквивалентны друг другу или . Отношение порядка определяется следующим образом.

Если и то . Если то .

Таким образом, классы эквивалентности описывают некоторые вещественные числа. Назовем их вещественными числами первого порядка. Если мы попробуем образовать вещественное число большего порядка, составляя фундаментальные последовательности Коши, то получим опять множество вещественных чисел первого порядка. Иными словами, множество вещественных чисел замкнуто.

Кантор обращает внимание тот факт, что в определении вещественного числа лежит актуально бесконечное множество рациональных чисел: « .к определению какого-нибудь иррационального числа всегда принадлежит некоторое строго определенное множество первой мощность рациональных чисел»[3].

Заметим, что построение Кантора можно обобщить на другие объекты, что была сделано Кантором и его последователями, «разработка теорий действительного числа была достаточно существенной предпосылкой создания теории множеств»[4, стр. 63]. Например, на основе своего построения вещественного числа Кантор впоследствии свою теорию трансфинитных чисел.

Кроме того, Кантор ввел понятие мощности множеств и доказал неэквивалентность иррациональных и рациональных чисел.

4.3 Рихард Дедекинд

Дедекинд Рихард Юлиус Вильгельм родился 6 октября 1831 года в Брауншвейге (Нижняя Саксония). Там он провёл большую часть своей жизни и умер 12 февраля 1916 года. Отучившись в Карловском коллегиуме в его родном городе, в 1850 году Дедекинд поступает в Гёттингенский университет, ведущий и старейший в Нижней Саксонии. В числе его университетских друзей был Бернхард Риман.

В 1852 году в возрасте 21 год Дедекинд получает докторскую степень за работу над диссертацией по теории интегралов Эйлера. Затем, отучившись в Берлинском университете 2 года, он вернулся в Гёттинген и в должности приват-доцента преподавал курсы теории вероятности и геометрии. В 1855 году, после смерти Гаусса, его кафедру занял Дирихле, общение с которым оказало огромное влияние на Дедекинда; они стали близкими друзьями. Первое время Дедекинд изучал эллиптические и абелевы функции. Кроме того, он был первым в Гёттингене, кто преподавал теорию Галуа и ввёл в широкое употребление предложенное Галуа понятие поля.

В 1858 году Дедекинд начал преподавать в Техническом университете в Цюрихе. Когда в 1862 году Карловский коллегиум был преобразован в Технический институт, Дедекинд возвращается в родной Брауншвейг на должность профессора, где до конца своей жизни преподаёт.

 Скачать реферат