Зарождение и создание теории действительного числа

В 1971 году при переиздании "Лекций по теории чисел" Дирихле, в десятом (в более поздних изданиях — одиннадцатом) дополнении он изложил свои труды, за которые получил научное признание. «Этой и другими своими работами, в которых введены понятия кольца, модуля и идеала, Дедекинд заложил основы современного аксиоматического изложения математических теорий» [13].

В том же году он зна

комится с Георгом Кантором. Знакомство перешло в долголетнюю дружбу и сотрудничество; Дедекинд стал одним из первых сторонников канторовской теории множеств. Сформулировал (1888 год) систему аксиом арифметики (ее обычно называют аксиомами Пеано), содержащую, в частности, точную формулировку принципа полной математической индукции. Ввел в математику в самом общем виде теоретико-множественное понятие отображения. В 1894 году Дедекинд ушёл на заслуженный отдых, но продолжал иногда читать лекции и публиковаться.

Он никогда не был женат и проживал со своей незамужней сестрой Юлией. Дедекинд избирался членом в Академии Берлина (1880 год) и Рима, а также в Французскую Академию наук (1900). Он получил докторские степени в университетах Осло, Цюриха и Брауншвейга. Издал лекции по теории чисел, читанные Дирихле, труды Гаусса, а также (совместно с Г. Вебером) полное собрание сочинений Римана.

Дедекинд, также как и Вейерштрасс, обнаружил логическую трудность перехода от геометрического анализа к арифметическому, состоящую в неопределенности вещественного числа. Свое построение действительного числа Дедекинд относит к осени 1858 года. Поход к вещественному числу Дедекинда близок к подходу Евдокса настолько, что некоторые математики не сразу видели различие[10]. Дедекинд исходит из геометрического представления о том, что точка делит прямую на две части, которые условно можно назвать правой и левой. Далее Дедекинд определяет сечение множества рациональных чисел как пару подмножеств Q, такую что любой элемент из одного множества всегда больше любого элемента из другого множества. Для определенности будем считать, что . Сечения могут быть определены рациональным числом, тогда либо имеет минимальный элемент, либо имеет максимальный элемент. Если же мы построим сечение обладающее таким свойством, то оно определяет рациональное число. Однако, существуют сечения не имеющие такое свойство, например сечение всех рациональных чисел, определенное неравенством . Таким образом, при помощи сечения можно определить новое число,которое однозначно определяется сечением. Отношение равенства и порядка устанавливаются при помощи двух множеств сечения — Дедекинд показал, что существует только три соотношения между классами сечения, которые и определяют упорядоченность поля вещественных чисел. Как и Кантор, он доказал полноту построенного множества чисел.

Дедекинд дал одно из первых определений непрерывности: «Если разбить все величины какой-то области, устроенной непрерывным образом, на два таких класса, что каждая величина первого класса меньше любой величины второго класса, то либо в первом классе существует наибольшая величина, либо во втором классе существует наименьшая величина»[4].

Следует отметить, что несмотря на безусловную строгость построения, в подходе Дедекинда ощущается большая геометричность, чем у Вейерштрасса, «и Дедекинд и Кантор сразу же выдвигают аксиому о взаимооднозначном соответствии между построенными ими действительными числами и точками прямой»[4, стр. 62].

Заключение

Новые воззрения в математическом анализе не приживались гладко. Жестко критиковал учение Вейерштрасса, например, Кронекер. Критику Кантора можно уверенно сравнить с травлей. Но время доказало правильность выбранного курса. Привычный нам вид математического здания во многом был построен благодаря таким ученным как Вейерштрасс, Кантор и Дедекинд.

Построение вещественного числа завершило постройку фундамента для математического анализа. Вопрос аксиоматического построения анализа был практически завершен: все, что оставалось сделать - это построить аксиоматику целых и рациональных чисел. Эта задача была завершена Ж. Пеано в 1889 году. Однако, построение вещественного числа не является узкоспециальным вопросом математики, как, например, Великая теорема ферма. Благодаря работам Вейерштрасса, Кантора и Дедекинда в обращение вошли актуально бесконечные объекты: вещественное число, стало фактически первым таким объектом. Строгие построения основанные на аксиоматике, способствовали переходу математиков от «чувственного», «интуитивного» к абстрактному и строгому. Обобщенные методы построения вещественного числа стали впоследствии основой для теории множеств, функционального анализа, интеграла Лебега. Так что с уверенностью можно сказать, что ни один человек не может стать математиком, не зная работ трех великих творцов математики XIX века.

Список литературы

[1] А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М.: Мир, 1986.

[2] Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. М.: ИЛ, 1963.

[3] Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.-Л.: ГОНТИ, 1937.

[4] Ф.А. Медведев. Развитие теории множеств в XIX. М.: Наука, 1937.

[5] П.Я. Кочина. Карл Вейерштрасс. М.: Наука, 1937.

[6] И.Я. Депман. История арифметики. M.:Просвещение, 1965.

[7] Э.Кольман. История математики в древности. М.: Физматгиз, 1961.

[8] Большая советская энциклопедия. — 3-е изд. / Гл. ред. Прохоров А. М. — М.: Сов. энцикл., 1978.

[9] Энциклопедический словарь. М.: ГНИ «Большая Советская энциклопедия», 1953.

[10] История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, под ред. А.П. Юшкевича. М.:Наука, 1970.

[11] К.А. Рыбников. История математики. Т.1. изд. МГУ, 1960.

[12] З.А. Зорина, И.И. Полетаева. Элементарное мышление животных:учебное пособие. M.: Аспект Пресс, 2002.

[13] Математика XIX века. Том 1. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. Под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1978.

[1]Далее цитаты из «Начал» Евклида, приведенные по[10, стр.96]

[2]Цитата взята из [1, стр. 283]

[3]Цитата взята из [4, стр. 62]

[4]Цитата взята из [1, стр. 291]

 Скачать реферат