Устойчивость упругих систем

(2) .

Решение этой пары уравнений должно удовлетворять начальным и граничным условиям:

Здесь обозначает функцию дельта типа (,

в противном случае ); - масса и - абсолютная скорость предмета, ударяющего в торец стержня, . Начальные несовершенства стержня моделировались введением малой аддитивной добавки в уравнение (1). Решение этих уравнений описывает переходный процесс, приводящий к формированию стоячей изгибной волны с критической длиной полуволны , где - радиус инерции поперечного сечения; - некоторый подстроечный коэффициент. При , наблюдается хорошее согласование результата с выводами работы [3], поскольку в данном случае.

Результат установленный в работах [3] и [4], будучи в свое время весьма прогрессивными, тем не менее, не лишен некоторых рудиментарных черт, свойственных статической теории Эйлера. Очевидна попытка обобщения статической теории на динамическую, однако всякая статическая задача должна быть предельным случаем задачи динамики. В связи с этими замечанием, рассматривается задача о стационарных волнах на основе решения нелинейных уравнений (1) и (2) без граничных условий в сопровождающей системе отсчета (), где - некоторая скорость, подлежащая последующему определению:

(3) .

Здесь и . При , уравнение (3) обладает периодическими решениями с жесткой амплитудно-частотной характеристикой, выражаемыми через эллиптические функции Якоби [5], в то время как локализованные решения, при, следует считать физически нереализуемыми. Таким образом, нетривиальное локализованное стационарное решение уравнений (1) и (2), в виде комбинации продольной и изгибной волн, отсутствует. Поэтому задача динамической неустойчивости никак не сводится в данной постановке к задаче квазистатической.

На самом деле, по-видимому, существуют два основных класса задач по проблеме динамической неустойчивости, когда [4]

продольное нагружение медленно меняется во времени и некоторыми или всеми типами волнового движения можно пренебречь;

продольная нагрузка ударная и динамика волн играет принципиальную роль в процессе потери устойчивости упругой системой.

При изучении этих задач неизбежно возникают следующие общие вопросы.

Какие динамические эффекты должны адекватно описываться модельными уравнениями? Известно, что уравнения, вытекающие из теории тонких оболочек применимы в основном лишь в так называемом длинноволновом приближении. Это означает, что характерная длина волны должна быть снизу ограничена, скажем, по меньшей мере, десятью толщинами тонкостенной конструкции. Однако, при ударном нагружении динамический процесс является существенно коротковолновым. В последнем случае, для адекватного описания динамики системы, требуется привлечение основных уравнений теории упругости, которые весьма сложны по своей математической структуре и трудны для аналитических исследований. Поэтому необходим некий разумный компромисс в выборе модельных уравнений и обоснование их применения [6].

Каковы механизмы динамической неустойчивости, и какие формы колебаний должны преобладать на ее начальной стадии развития? Можно предположить, что динамическая неустойчивость появляется в результате нелинейных многоволновых взаимодействий. Очевидно, что на начальной стадии динамика системы может быть адекватно описана в так называемом параметрическом приближении. Это означает, что сначала можно ограничиться моделью, представленной линеаризованными уравнениями движения с переменными в пространстве и времени коэффициентами.

Существует ли динамический процесс, по своим свойствам противоположный динамической неустойчивости, т.е. можно ли стабилизировать форму конструкции с помощью некого управляемого колебательного процесса? Известно, что вынужденные высокочастотные колебания линейных механических системы могут обратить ее неустойчивое/устойчивое состояние равновесия в устойчивое/неустойчивое [7 - 10]. Тем не менее, прогноз динамической устойчивости на больших временных интервалах требует изучения существенно нелинейных динамических моделей.

Параметрическое приближение

Следуя постановке задач, представленных в работах [3] и [4], рассматривается так называемая модель Бернулли-Эйлера, описывающая нелинейные колебания тонкого стержня с помощью следующих уравнений [11]

(4)

с краевыми условиями

Заметим, что область применимости модели уверенно можно ограничить условием, что характерная скорость волнового процесса не должна превышать скорости распространения продольных волн .

В случае исчезающе малых колебаний эта система уравнений представляет собой два линейных уравнения, которые могут быть разрешены независимо.

Пусть , тогда линеаризованное уравнение для продольных смещений представляет собой простое волновое уравнение, имеющее вынужденное решение

,

где частоты связаны с волновыми числами дисперсионным соотношением .

Заметим[3], что , при любом значении .

В свою очередь, линеаризованное уравнение для изгибных волн принимает вид

(5) .

 Скачать реферат