Некоторые вопросы геометрии Лобачевского на модели Пуанкаре
.
Отсюда получаем
Тогда
=43 src="images/referats/3116/image026.png">
т.е. (ABCD) = (A'B'C'D').
Замечание.
Пусть A'=(A). Имеем
Откуда, перемножив, получаем
и .
Зафиксируем точку В, а r пусть неограниченно возрастает, тогда |AB|=|A'B|, т.е. инверсия относительно „окружности бесконечно большого радиуса" есть симметрия относительно прямой.
2. Аналитическое задание инверсии
Пусть A'=(A), где А
O, А
. Введём на плоскости декартову прямоугольную систему координат так, чтобы её начало совпало с точкой О.
Пусть x, y - координаты точки А, x', y'-координаты точки А'. Выразим х и у через х' и у'. Имеем А' [OA) и
,
.
Очевидным образом получаем
,
откуда находим
(1)
3. Преобразование окружности и прямой при инверсии
Пусть (O, r) П. Рассмотрим окружность S
П. Найдём
(S).
Введём на плоскости систему координат хОу. Пусть в этой системе координат окружность S имеет уравнение
A () +Bx+Cy+D=0 (2)
Подвергнем S инверсии . Подставляя в (2) вместо х и у их выражения из (1), получим
A+B
x'+C
y'+D (
) =0 (3)
Если D=0, т.е. если OS, то
(S) - прямая, не проходящая через О.
Если D0, т.е. если O
S, то
(S) - окружность, не проходящая через точку О.
Итак, доказана.
Теорема 1. Если окружность проходит через центр инверсии, то она преобразуется при инверсии в прямую, не проходящую через центр инверсии; если окружность не проходит через центр инверсии, то она преобразуется в окружность, не проходящую через центр инверсии.
Аналогично доказывается следующая.
Теорема 2. Если прямая проходит через центр инверсии, то она преобразуется при инверсии в себя; если прямая не проходит через центр инверсии, то она преобразуется в окружность, проходящую через центр инверсии.
4. Сохранение углов при инверсии
Определение. Прямые a и b назовём антипараллельными относительно О, если
.
Лемма. Если (A) =A' и
(B) =B', то прямые АВ и А'В' антипараллельны.
Доказательство получим, рассмотрев ОАВ и
ОА'В'.
Теорема 3. Инверсия сохраняет величину углов.
Доказательство. Пусть f и g-кривые, выходящие из точки А, f'=(f), g'=
(g) и A'=
(A).
Проводим из точки О луч, пересекающий f и g в точках В и С соответственно. Пусть B'=(B), C'=
(C). По лемме прямые АВ и А'В', АС и А'С' антипараллельны. Значит,
OA'B'=
OBA
и OA'C'=
OCA, тогда
C'A'B'=
OA'B' -
OA'C'=
OBA-
OCA=
CAB.
Переходя в равенстве C'A'B'=
CAB к пределу при
АОС
0 (луч ОС приближаем к лучу ОА), получим утверждение теоремы.
Замечание. Доказанное свойство позволяет легко строить образы прямых и окружностей при инверсии.
Пусть, например, дана прямая L и
Проведём луч l с началом О, перпендикулярно L.
Пусть A'=
(A).
В силу теорем 2 и 3 заключаем, что L'=(L) - окружность с диаметром ОА'.
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах