Некоторые вопросы геометрии Лобачевского на модели Пуанкаре

Аксиома непрерывности

IV. Пусть все точки прямой разбиты на два класса так, что выполняются условия:

1. Оба класса не пусты.

2. Каждая точка прямой отнесена к одному и только одному из классов.

3. Каждый класс есть выпуклое множество.

Тогда в одном из классов существует граничная точка, т.е. такая точка, которая не лежит между двумя точками одного и того же класса.

Аксио

ма Лобачевского

V. Через точку, взятую вне прямой, в плоскости, определяемой этой прямой и точкой, можно провести по крайне мере две прямые, не пересекающие данную прямую.

В связи с аксиоматическим построением теории возникают следующие три вопроса является ли данная система аксиом:

1) непротиворечивой,

2) независимой,

3) полной.

Система аксиом называется непротиворечивой, если из неё нельзя получить путём логических рассуждений двух взаимно исключающих утверждений a и .

Система аксиом называется независимой, если ни одну из аксиом системы S нельзя вывести из остальных.

Система аксиом называется полной, если с помощью её можно доказать или опровергнуть любое предложение, сформулированное в терминах этой аксиоматики.

Исследование аксиоматики по этим трём вопросам связано с построением модели (реализации, интерпретации).

Построить или задать интерпретацию (модель) системы аксиом S - это значит:

1. Задать конкретное множество элементов произвольной природы, условно именуемых точками, прямыми, плоскостями;

2. Так определить отношения между элементами, условно выражаемые словами „принадлежать”, „между”, „быть конгруэнтным”, чтобы выполнялись все аксиомы системы S.

Имеет место следующая теорема:

Теорема. Система аксиом S непротиворечива, если она допускает хотя бы одну реализацию.

Доказательство. Допустим, что S - противоречива, т.е. S→a и S→. Пусть R - реализация S, тогда в R имеет место a и , что невозможно в силу конкретности основных понятий в R.

 Скачать реферат