Нахождение решений дифференциальных уравнений

,

. (5)

x(0) =0,y(0) =α (6)

Решением этой системы являются функции x=x(t), y=y(t), задающие параметрические уравнения интегральной кривой задачи (1), (2).

Формулы (3) оказываются фор

мулами метода Эйлера решения задачи (5), (6) с шагом H изменения параметра t.

Потребуется следующее утверждение о непрерывной зависимости решения (x(t), y(t)) системы (5) от начальных условий. Выберем произвольные числа Т>0, β,γ. Обозначим через (((t), (t)) такое решение системы (5), для которого , .

ТЕОРЕМА 2. Пусть при функция f (x, y) удовлетворяет неравенству (4) и имеет непрерывные частные производные, причем существует такое число В>0, что

||(7)

Тогда найдётся такая убывающая функция N (E), определенная при Едля любых x(T), y(T), β, γ из неравенств x(T) ≥0, x(T) + β≥0, y(T) ≥Е, y(T) +β≥Е следует неравенство:

≤ N(E) |(β, γ) | (8)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Согласно теореме Лагранжа о среднем для функции нескольких переменных и в силу неравенств (7) можно выбрать такие , и , содержащиеся между

и , что

≤

.

Вследствие положительности f(x, y) при x≥0, y≥α функциимонотонно возрастают. Пусть С= , где Е >0.

Так как функция F(k) = возрастает, то при t≥T выполнено , y(t) ≥ E + C(t-T), E + C(t-T).

В соответствии с неравенством (4) имеем:

. .

Сложив эти неравенства, получим:

(.

Вследствие теоремы об оценке решения дифференциального уравнения ([2] , с.29) справедливо неравенство

где z(t) является решением задачи.

.

Имеем

≤

Учитывая эквивалентность норм пространства R2 ([3] , с.32), получаем неравенство (8). Теорема доказана.

Погрешность решения, полученного по формулам (3), оценивает

ТЕОРЕМА 3. Пусть функция f (x, y) удовлетворяет условиям теоремы 2. Тогда существует такое М>0, что для решения (x(t)), y(t)) задачи (5), (6) и его приближения, построенного по формулам (3), выполнено неравенство.

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Обозначим через (решение системы (5), удовлетворяющее условию , . В соответствии с теоремой Лагранжа о среднем для функции одной переменной найдется такое , что

.

Система (5) обеспечивает выполнение неравенств и следовательно, ((i+1) H) ≤, ((i+1) H) ≤. Согласно теореме Лагранжа о среднем для функции нескольких переменных существуют такие

Что

((i+1) H) -

Отсюда, учитывая условия (4), (7), получаем

|((i+1) H) - ,

где взято и доказательства теоремы 1. Аналогично

Вследствие теоремы 2 при имеем

+

Получена оценка расстояния между двумя интегральными кривыми, проходящими через точки (Для оценки погрешности метода сложим эти расстояния. Учитывая, что , получим

Обозначив через М сумму сходящегося ряда и сославшись на эквивалентность норм пространства , завершим доказательство.

2. ПРИМЕР

Рассмотрим задачу.

(9)

 Скачать реферат