Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах

. (31)

Очевидно, что выражение в скобках задаёт родство, а коэффициенты (a+b) и c являются коэффициентами преобразования подобия.

Выясним, сохраняет ли аффинное преобразование вида (31) ориентацию плоских фигур. Внешнее преобразование (31) сохраняет ориентацию, поэтому найдём определитель внутреннего преобразования: idth=89 height=52 src="images/referats/3153/image231.png">. Очевидно, что если преобразование (2) сохраняло ориентацию плоских фигур, то его определитель положителен и определитель внутреннего преобразования композиции также положителен (тогда и композиция преобразований (31) сохраняет ориентацию плоских фигур). В противном случае– если отрицателен, то и преобразование (31) также меняет ориентацию плоских фигур на противоположную.

Таким образом, мы представили произвольное аффинное преобразование (2) в виде композиции родства и подобия первого рода. Но возможно представить (2) и в виде композиции родства и подобия второго рода, тогда (2) примет вид

. (32)

Внешнее преобразование полученной композиции – подобие второго рода – меняет ориентацию плоских фигур на противоположную. Рассмотрим внутреннее преобразование. Его определитель равен . Если исходное преобразование (2) сохраняло ориентацию плоских фигур, то его определитель положителен, тогда определитель внутреннего преобразования композиции (32) отрицателен и оно меняет ориентацию плоских фигур, но так как внешнее преобразование также меняет ориентацию, то всё преобразование (32) сохраняет ориентацию плоских фигур. В противном случае, если исходное преобразование (2) меняло ориентацию, то есть имело отрицательный определитель, внутреннее преобразование имеет положительный определитель и ориентации не меняет, а в композиции с подобием второго рода меняет ориентацию плоских фигур.

Следовательно, любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции родства и подобия, что и требовалось доказать.

Библиографический список

1. Понарин Я.П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах: Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов. – М.: МЦНМО, 2004

2. Скопец З.А. Геометрические миниатюры / Сост. Г.Д. Глейзер. – М.: Просвещение, 1990

3. Яглом И.М., Ашкинузе В.Г. Идеи и методы аффинной и проективной геометрии. Часть 1. Аффинная геометрия. М.: - Учпедгиз, 1962

 Скачать реферат