Аффинные преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах

Докажем, что если для коэффициентов прямой (3) p и q верно равенство (17), то она является двойной прямой аффинного преобразования с коэффициентами a, b, c и определителем .Возьмём прямую . При аффинном преобразовании с коэффициентами a, b, c она перейдёт на прямую mg width=526 height=28 src="images/referats/3153/image101.png">. Покажем, что будут выполняться равенства где k – коэффициент пропорциональности. Найдём k из последнего равенства системы . Подставим вместо q его выражение через коэффициенты аффинного преобразования и коэффициент р, упростим выражение и получим . Очевидно, что при таком k верны и два первых уравнения системы, следовательно, прямая является двойной, что и требовалось доказать.

Глава II. Частные виды аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах

§1. Преобразование подобия

Преобразованием подобия (или подобием) называется преобразование, которое каждые две точки P и Q отображает в такие две точки P’ и Q’, что P’Q’=k·PQ, где k - постоянное действительное положительное число, называемое коэффициентом подобия. [2]

Введём в рассмотрение аффинное преобразование (2). Рассмотрим неколлинеарные точки M(z), P(p), Q(q) и их образы M’(z’), P’(p’), Q’(q’) при некотором аффинном преобразовании (2). Преобразование подобия задаётся тремя парами точек M"M’, P"P’, Q"Q’ так, что треугольник M’P’Q’ подобен треугольнику MPQ.

Существует два рода преобразований подобия. Подобие первого рода сохраняет ориентацию каждого отображаемого треугольника, а подобие второго рода отображает каждый треугольник в треугольник, противоположно ориентированный с ним. Рассмотрим теперь подобие каждого рода отдельно.

I. Пусть MPQ и M’P’Q’ – одинаково ориентированные подобные треугольники, тогда выполняются равенства , где .

Рассмотрим равенство , откуда , тогда . Обозначим второе слагаемое как , получим равенство, задающее преобразование подобия первого рода:

, где . (18)

II. Рассмотрим теперь подобные и противоположно ориентированные треугольники MPQ и M’P’Q’. Для них верны равенства: , где . Рассмотрим равенство , преобразуем его к виду , тогда можем выразить z’: , обозначим второе слагаемое за ρ, тогда получим равенство, которым задаётся преобразование подобия второго рода , где (19)

§2. Преобразование родства

2.1. Понятие преобразования родства

Родство – аффинное преобразование, имеющее прямую неподвижных точек. Его задаёт формула :

, где , , (20)

Осью этого преобразования является прямая , примем её за действительную ось Ох: [1]. Тогда очевидно, что с=0 и b=1-a. Поэтому преобразование (20) с действительной осью записывается формулой:

, где (21)

Рис. 2

Выясним особенности этого преобразования. Перепишем его следующим образом (22) составим из этого выражения и сопряжённого к нему выражения пропорцию . Откуда , а это является условием того, что векторы с координатами и перпендикулярны. Так как а-1 – постоянные вектор, а z и z’ – координаты соответственных точек М и М’ при аффинном преобразовании (рис. 2), то все прямые, соединяющие точки М и М’ будут параллельны между собой и параллельны некоторому вектору с координатой (а-1)i, называемому направлением аффинного преобразования, в данном случае – родства.

Если (а-1) – чисто мнимое число (то есть , откуда ), то направление родства будет коллинеарно оси родства. В этом случае аффинное преобразование называется сдвигом вдоль прямой и условия, которые его задают, имеют вид , , (23)

Если же направление аффинного преобразования не совпадает с направлением его оси, то оно называется сжатием к прямой и его задают следующие условия: , , (24)

2.2. Сжатие и его частные виды

Найдём собственные числа λ преобразования сжатия (24) из условия . Составим систему из этого условия и сопряжённого к нему выражения : . Чтобы найти собственные числа, нужно решить уравнение , откуда получим и .

 Скачать реферат