Афинные преобразования на плоскости



3-й шаг. Перенос на вектор А (a, b) для возвращения центра растяжения в прежнее положение; матрица соответствующего преобразования:

1 0 0

[ TA ] = 0 1 0 (3.15)

a b 1

Премножив матрицы в том же порядке

[ T-A ] [ D ] [ TA ],

получим окончательно

0 0

( x* y* 1) = (x y 1) 0  0 (3.16)

(1 - )a (1 - )b 1

Рассуждая подобным образом, то есть разбивая предложенное преобразование на этапы, поддерживаемые матрицами [ R ], [ D ], [ M ], [ T ], можно построить матрицу любого аффинного преобразования по его геометрическому описанию.

4. Аффинные преобразования в пространстве

Рассмотрим трехмерный случай (3D) (3-dimension) и сразу введем однородные координаты.

Поступая аналогично тому, как это было сделано в размерности два, заменим координатную тройку (x, y, z), задающую точку в пространстве, на четверку чисел

(x y z 1)

или, более общо, на четверку

(hx hy hz), h = 0.

Каждая точка пространства (кроме начальной точки О) может быть задана четверкой одновременно не равных нулю чисел; эта четверка чисел определена однозначно с точностью до общего множителя.

Предложенный переход к новому способу задания точек дает возможность воспользоваться матричной записью и в более сложных трехмерных задачах.

Любое аффинное преобразование в трехмерном пространстве может быть представленно в виде суперпозиции вращений, растяжений, отражений и переносов. Поэтому вполне уместно сначала подробно описать матрицы именно этих преобразований (ясно, что в данном случае порядок матриц должен быть равен четырем).

А. Матрицы вращения в пространстве.

Матрица вращения вокруг оси абсцисс на угол :

0

0 -sin cos  0

0 0 0 1

Матрица вращения вокруг оси ординат на угол 

sin  0cos  0

0 0 0 1

Матрица вращения вокруг оси аппикат на угол :

-sin

0 0 0

0 0 0 1

Полезно обратить внимание на место знака « - » в каждой из трех приведенных матриц.

Б. Матрица растяжения-сжатия:







где

 > 0 – коэффицент растяжения (сжатия) вдоль оси абсцисс;

> 0 – коэффицент растяжения (сжатия) вдоль оси ординат;

> 0 – коэффицент растяжения (сжатия) вдоль оси аппликат.

 Скачать реферат