Методы оценки температурного состояния

в) температура в узлах, расположенных на поверхности сопряжения: полусфера - конус, рассчитывается следующим образом. Поскольку поверхность сопряжения одновременно принадлежит полусфере и конусу, то вторая производную по координатам и ="images/referats/4806/image101.png">аппроксимируется по формулам, приведенным далее. Для полусферы принимается составляющая второй производной по углу в сферических координатах, а для конической части - составляющая второй производной по в цилиндрических координатах. Узлы, расположенные на поверхности сопряжения полусфера - конус, пронумерованы . На поверхности сопряжения при использовании равномерной сетки уравнения записываются так:

г) узлы, расположенные на оси полусферы

д) узлы, расположенные на оси конической и цилиндрической частей оправки

При аппроксимации дифференциальных уравнений (2.39) и (2.40) конечно-разностными аналогами (3.3) и (3.4) учитывается, что в силу симметрии и . В вышеприведенных формулах (3.1) - (3.4) принимаются следующие обозначения:

;

;

;

;

,

где - шаг по координате .

На поверхности оправки граничные условия II рода при нагреве (2.28) и охлаждении (2.31) аппроксимируются по трем приграничным узлам с учетом поглощения (выделения) теплоты в приграничном узле толщиной :

,

где - плотность теплового потока, поступающего на оправку при прошивке или уходящего с нее при охлаждении. Из последнего уравнения получается формула для определения температуры поверхности оправки в узлах :

.

Граничное условие (2.58) на торцевой границе стержня также аппроксимируется по значениям температуры в трех приграничных узлах сетки

,

откуда получается

.

При расчете температуры в "центральной" точке сферы и усеченного конуса возникают трудности, связанные с тем, что эта точка принадлежит одновременно центру полусферы и оси плоскости сопряжения полусфера - цилиндр. Температура в этой "центральной" точке определяется по балансу тепловой энергии в объеме, прилегающем к этой точке (рис.3.2):

,

где - удельная объемная теплоемкость; - объем тела вращения ABDSA; - тепловой поток, поступающий в выделенный объем.

Рис.3.2 Пояснение к расчету температурного поля в центре сферического участка.

Тепловой поток равен

,

где составляющие теплового баланса определяются по формулам

.

Объем тела вращения ABDSA (см. рис.3.2) рассчитывается по формуле

.

В общем случае все конечно-разностные уравнения приводятся к виду:

,

где - коэффициенты разностного уравнения, - свободный член. Эти величины рассчитываются по формулам, приведенным в табл.3.1 и табл.3.2. Выражение для искомой температуры из уравнения (3.19), записывается так:

.

Для увеличения скорости сходимости итерационного процесса на каждом временном слое в расчет вводится коэффициент верхней релаксации . В этом случае:

.

Таблица 3.1 Коэффициенты конечно-разностных уравнений.

 Скачать реферат