Математическая постановка краевых задач уравнения теплопроводности

Краевые условия

Дифференциальное уравнение теплопроводности является математической моделью целого класса явлений теплопроводности и само по себе ничего не говорит о развитии процесса теплопереноса в рассматриваемом теле. При интегрировании дифференциального уравнения в частных производных получаем бесчисленное множество различных решений. Чтобы получить из этого множ

ества одно частное решение, соответствующее определенной конкретной задаче, необходимо иметь дополнительные данные, не содержащиеся в исходном дифференциальном уравнении теплопроводности. Этими дополнительными условиями, которые в совокупности с дифференциальным уравнением (или его решением) однозначно определяют конкретную задачу теплопроводности, являются распределение температуры внутри тела (начальные или временные условия), геометрическая форма тела и закон взаимодействия между окружающей средой и поверхностью тела (граничные условия).

Для тела определенной геометрической формы с определенными (известными) физическими свойствами совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями. Итак, начальное условие является временным краевым условием, а граничные условия – пространственным краевым условием. Дифференциальное уравнение теплопроводности вместе с краевыми условиями составляет краевую задачу уравнения теплопроводности (или короче – тепловую задачу).

Начальное условие определяется заданием закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени, т. е.

Т (х, у, z, 0) = f (х, у, z), (3.1)

где f (х, у, z) — известная функция.

Во многих задачах принимают равномерное распределение температуры в начальный момент времени; тогда

Т (х, у, z, 0) = То = const. (3.2)

Граничное условие может быть задано различными способами.

1. Граничное условие первого рода состоит в задании распределения температуры по поверхности тела в любой момент времени,

Тs (τ) = f(τ) (3.3)

где Тs (τ) – температура на поверхности тела.

Изотермическое граничное условие представляет частный случай условия 1-го рода. При изотермической границе температуру поверхности тела принимают постоянной Ts= const, как, например, при интенсивном омывании поверхности жидкостью с определенной температурой.

2. Граничное условие второго рода состоит в задании плотности теплового потока для каждой точки поверхности тела как функции времени, т. е.

qs (τ) = f(τ). (3.4)

Условие 2-го рода задает величину теплового потока на границе, т.е. кривая температуры может иметь любую ординату, но обязательно заданный градиент. Простейший случай граничного условия второго рода состоит в постоянстве плотности теплового потока:

qs (τ) = qc = const.

Адиабатическая граница представляет частный случай условия 2-го рода. При адиабатическом условии тепловой поток через границы равен нулю. Если теплообмен тела с окружающей средой незначителен в сравнении с тепловыми потоками внутри тела, поверхность тела можно считать практически непропускающей тепла. Очевидно, что в любой точке адиабатической границы s удельный тепловой поток и пропорциональный ему градиент по нормали к поверхности равны нулю.

3. Обычно граничное условие третьего рода характеризует закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой при постоянном потоке тепла (стационарное температурное поле). В этом случае количество тепла, передаваемого в единицу времени с единицы площади поверхности тела в окружающую среду с температурой Тс в процессе охлаждения (Тs > Тс), прямо пропорционально разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, т. е.

qs = α (Тs - Тс), (3.5)

где α — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплообмена (вm/м2·град).

Коэффициент теплообмена численно равен количеству тепла, отдаваемого (или получаемого) единицей площади поверхности тела в единицу времени при разности температур между поверхностью и окружающей средой в 1°.

Соотношение (3.5) можно получить из закона теплопроводности Фурье, полагая, что при обтекании поверхности тела газом или жидкостью передача тепла от газа к телу вблизи его поверхности происходит по закону Фурье:

qs =-λг·(∂Тг/∂n)s·1n= λг·(Ts-Tc)·1n/∆ =α·(Ts-Tc)·1n(3.6)

где λг — коэффициент теплопроводности газа, ∆ — условная толщина пограничного слоя, α = λг /∆.

Следовательно, вектор теплового потока qs направлен по нормали п к изотермической поверхности, его скалярная величина равна qs.

Условная толщина пограничного слоя ∆ зависит от скорости движения газа (или жидкости) и его физических свойств. Поэтому коэффициент теплообмена зависит от скорости движения газа, его температуры и изменяется вдоль поверхности тела в направлении движения. В качестве приближения можно считать коэффициент теплообмена постоянным, не зависящим от температуры, и одинаковым для всей поверхности тела.

Граничные условия третьего рода могут быть использованы и при рассмотрении нагревания или охлаждения тел лучеиспусканием. По закону Стефана-Больцмана лучистый поток тепла между двумя поверхностями равен

qs(τ) = σ*[T4s(τ) –T4a], (3.7)

где σ* — приведенный коэффициент лучеиспускания, Тa — абсолютная температура поверхности тепловоспринимающего тела.

Коэффициент пропорциональности σ* зависит от состояния поверхности тела. Для абсолютно черного тела, т. е. тела, обладающего способностью поглощать все падающее на него излучение, σ* = 5,67·10-12 вт/см2·°К4. Для серых тел σ* = ε·σ, где ε - коэффициент черноты, изменяющийся в пределах от 0 до 1. Для полированных металлических поверхностей коэффициенты черноты составляют при нормальной температуре от 0,2 до 0,4, а для окисленных и шероховатых поверхностей железа и стали — от 0,6 до 0,95. С повышением температуры коэффициенты ε увеличиваются и при высоких температурах, близких к температуре плавления, достигают значений от 0,9 до 0,95.

При малой разности температур (Тп - Та) соотношение (3.7) можно приближенно написать так:

qs(τ) = σ*{[T2s(τ) +T2a]·[Ts(τ) +Ta]}·[ Ts(τ) –Ta] = α(T)· [ Ts(τ) –Ta] (3.8)

где α (Т) — коэффициент лучистого теплообмена, имеющий ту же размерность, что и коэффициент конвективного теплообмена, и равный

α (Т)= σ*[T2s(τ) +T2a]·[Ts(τ) +Ta]= σ*·ν(T) (3.9)

Соотношение (3.9) является выражением закона Ньютона охлаждения или нагревания тела, при этом Tа обозначает температуру поверхности тела, воспринимающего тепло. Если температура Тs(τ) изменяется незначительно, то коэффициент α (Т) приближенно можно принять постоянным.

Если температура окружающей среды (воздуха) Тс и температура тепловоспринимающего тела Та одинаковы, а коэффициент лучепоглощения среды очень мал, то в соотношении (3.9) вместо Та можно написать Тс. При этом небольшая доля потока тепла, отдаваемого телом путем конвекции, может быть положена равной αк·∆Т, где ак — коэффициент конвективного теплообмена.

 Скачать реферат