Линейные дифференциальные уравнения

. (8.3)

Обозначим корни уравнения det (A + V(t) - λE) = 0 через λj(t), j = 1, …, n. Очевидно, что можно, если это необходимо, переставить μj так, чтобы . Для каждого k положим

Допустим, что все j, 1 j n, попадают в один из двух классов I1 и I2, где

, если при

и

, (8.4)

, если ; (8.5)

здесь k фиксировано и К – постоянная. Пусть pk – характеристический вектор А, соответствующий μk, так что

Аpk = μk pk. (8.6)

Тогда существует решение φk системы (8.1) и число t0, 0 t0 , такие, что

(8.7)

Доказательство. Если условия теоремы выполняются для всех k, 1 k n, и Ф – матрица со столбцами φ1, …, φn, то Ф – фундаментальная матрица, так как det Ф(t) 0 для больших t, ибо pk линейно независимы.

Предположим в начале, что А + V(t) для t t0 имеет диагональный вид А(t) причем t0 выбрано так, что

(8.8)

Пусть Ψ(t) – диагональная матрица:

Ψ(t) =

так что

(8.9)

Пусть еК - вектор-столбец со всеми нулевыми элементами, за исключением k-го, который равен 1, и ψk – вектор, определенный равенством

При фиксированном k и I1, I2, определенных согласно неравенствам (8.4), (8.5), положим

Ψ = Ψ1 + Ψ2,

где диагональные матрицы Ψ1 и Ψ2 содержат элементы Ψ, соответствующие столбцам с индексами j, принадлежащим соответственно I1 и I2. Тогда

(j = 1, 2). (8.10)

Рассмотрим теперь уравнение

(8.11)

Можно непосредственно проверить, что если уравнение (8.11) имеет решение φ, то

= (A + R) φ. (8.12)

Последнее уравнение имеет рассматриваемый нами вид (8.1)

Пусть φ0(t) = 0 и

(8.13)

Тогда φ1(t) = ψk(t) и для t t0

(8.14)

Каждый элемент диагональной матрицы имеет вид

или равен нулю. Но для t0 τ t

Поэтому для t0 τ t

Точно также для τ t получим

Используя эти неравенства, получаем из (8.13)

Из (8.8) и (8.14) теперь по индукции следует

Отсюда следует равномерная сходимость последовательности {φj} на каждом конечном подинтервале интервала [t0,). Так как φj непрерывно, то предельная функция φ также непрерывна и, очевидно,

(8.15)

Покажем теперь, что

(8.16)

Это будет установлено, если мы покажем, что при t→ ∞

(8.17)

И

(8.18)

Доказательство соотношения (8.18) сразу получается из (8.15) и (8.5). Доказательство соотношения (8.17) основывается на равенстве

(8.19)

которое является следствием (8.4). Каково бы ни было ε > 0, можно подобрать такое t1, что

Поэтому, обозначая левую часть (8.17) через J(t), получаем

Из (8.19) следует, что

Так как ε произвольно, то (8.17) доказано. Таким образом, теорема доказана для случая A + V(t) = A(t), если за φ взята φk.

Доказательство теоремы 8.1 вытекает из следующей леммы.

 Скачать реферат