Нормированные пространства

Рефераты / Математика / Нормированные пространства

Таким образом, функция , которая каждому сегменту ставит в соответствие меру этого сегмента, будет:

1. принимать действительные неотрицательные значения;

2. аддитивной, т.е. мера объединения есть сумма мер этих сегментов.

Применив стандартное распрост

ранение меры, получим меру на некоторой - алгебре.

Определение. Меру , получающуюся с помощью такого построения, называют мерой Лебега – Стилтьеса, отвечающей функции , а саму функцию называют производящей функцией этой меры.

Определение. Пусть - мера на R, порожденная монотонной функции . Для этой меры обычным образом определяется класс суммируемых функций и вводится понятие интеграла Лебега .

Такой интеграл, взятый по мере , отвечающей производящей функции , называется интегралом Лебега – Стилтьеса и обозначается .

Теперь докажем факт, который используется при доказательстве интерполяционной теоремы.

Предложение 2. и для

и , тогда

(1) , и если , и , то

. (2)

Доказательство.

Равенство (1) следует из определения интегралов Лебега и Лебега – Стилтьеса:

Если - последовательность разбиений действительной оси:

, и , то интегралы , где , если , стремятся при .

С другой стороны:

при .

Это и доказывает равенство (1).

Пусть теперь . По (1), учитывая, что , получаем (2’)

При

Следовательно, из соотношения (2’), делая замену переменных , получим первое равенство (2).

Далее, для любого выполняется

(интегрирование по частям: ).

Для доказательства второго равенства в (2) достаточно устремить в последнем соотношении число к и использовать оценку:

при.

Предложение 2 доказано.

Замечание. Если функция задана на , то, применяя равенство (2) для функции , , и учитывая, что , получим

(3)

Глава II. Интерполяция в пространствах суммируемых функций.

§1. Теорема Марцинкевича и ее применение.

Одной из важнейших в теории интерполяции является теорема Ж.Марцинкевича, доказанная им в 1939 году. Прежде чем рассмотреть теорему, докажем предложение.

Пусть дана функция . Положим для