Нестандартные методы решения задач по математике

Так как , то вектор имеет координаты и . Поскольку , то неравенство треугольника принимает вид

Если в неравенство подставить выражения для и , то получим требуемое неравенство .

Пример 38 Решить неравенство

Решение. Пусть на плоскости вектор имеет координаты , а вектор --- координаты . Тогда имеем и . Пусть , тогда координаты вектора будут вычисляться по формулам и . Отсюда следует, что . Поскольку , то имеет место неравенство треугольника . Если в последнее неравенство подставить выражения для , и , то получим неравенство . Отсюда и из следует равенство

Равенство означает, что .

Отсюда следует, что векторы и коллинеарные. Используя основное свойство коллинеарных векторов, получаем уравнение , откуда вытекает .

Ответ: .

Пример 39 Решить уравнение

Решение. Введем в рассмотрение два вектора и . Тогда , и .

Принимая во внимание уравнение , получаем равенство , наличие которого свидетельствует о том, что векторы , являются коллинеарными. Следовательно, имеет место уравнение

Из уравнения следует, что . Если возвести в квадрат обе части уравнения , то получим уравнение , которое имеет следующих три корня: и . Поскольку , то решением уравнения являются и .

Ответ: , .

Пример 40 Найти минимальное значение функции

Решение. Представим функцию в виде

Введем на плоскости векторы , с координатами и , соответственно. Так как и , то из выражения следует, что .

Пусть , тогда координатами вектора являются и .

Так как , то и . Теперь необходимо показать, что полученная нижняя оценка функции достижима, т.е. существуют такие значения и , при которых функция принимает значение .

 Скачать реферат