Нестандартные методы решения задач по математике

то функция является возрастающей на области значений функций и . В этой связи уравнение равносильно ура

внению и, следовательно, имеет два корня .

Ответ: .

6. Методы, основанные на применении векторов

Недостаточное внимание в общеобразовательной школе уделяется применению векторов для решения уравнений и неравенств. Тем не менее, как будет показано ниже, в ряде случаев применение свойств векторов позволяет эффективно решать довольно-таки сложные уравнения и неравенства.

Вектор в трехмерном пространстве характеризуется тремя координатами , , и модуль (длина) вектора вычисляется по формуле . Суммой (разностью) двух векторов и называется вектор , координаты которого вычисляются как (соответственно, ).

Два отличных от нуля вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Верно и обратное утверждение: если у двух векторов соответствующие координаты пропорциональны, то векторы коллинеарные.

Для векторов и справедливо неравенство , т.е.

Формула обобщается на случай суммы (или разности) трех и более векторов. Геометрический смысл состоит в том, что длина ломанной линии, соединяющей две точки трехмерного пространства, больше или равна длине отрезка прямой, проведенного между этими точками. Формула иначе называется неравенством треугольника.

Следует особо отметить, что равенство в достигается тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарные. В частности, из равенства в следует, что . Причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы и сонаправлены, т.е. .

В свою очередь, равенство свидетельствует о том, что векторы , противоположно направлены и . Скалярным произведением векторов и называется число (скаляр), которое вычисляется по формуле

где --- угол, образованный векторами и .

Для вычисления скалярного произведения двух векторов и , заданных в координатной форме, существует еще одна формула

Из формул и легко получить формулу для вычисления косинуса угла со между векторами и , т.е

Из формулы следует, что векторы , являются коллинеарными тогда и только тогда, когда .

Отметим, что формулы -- обобщаются на случай векторов и , заданных в -мерном пространстве (где ).

Задачи и решения

Пример 37 Доказать, если , то

где .

Доказательство. Пусть , , ., , тогда , , .,. Введем в рассмотрение вектор .

 Скачать реферат