Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Рефераты / Математика / Непрерывность функции на интервале и на отрезке

Рис.3.20.Непрерывная функция принимает любое промежуточное значение

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию $ f_C(x)=f(x)-C$, где $ C\in(f(a);f(b<p>))$. Тогда $ f_C(a)=f(a)-C<0$и $ f_C(b)=f(b)-C>0$. Функция $ f_C$, очевидно, непрерывна, и по предыдущей теореме существует такая точка $ x_0\in(a;b)$, что $ f_C(x_0)=0$. Но это равенство означает, что $ f(x_0)=C$.

Заметим, что если функция не является непрерывной, то она может принимать не все промежуточные значения. Например, функция Хевисайда $ H(x)$(см. пример 3.13) принимает значения $ f(-1)=-1$, $ f(1)=1$, но нигде, в том числе и на интервале $ (-1;1)$, не принимает, скажем, промежуточного значения $ \frac{1}{2}$. Дело в том, что функция Хевисайда имеет разрыв в точке $ x=0$, лежащей как раз в интервале $ (-1;1)$.

Для дальнейшего изучения свойств функций, непрерывных на отрезке, нам понадобится следующее тонкое свойство системы вещественных чисел (мы уже упоминали его в главе 2 в связи с теоремой о пределе монотонно возрастающей ограниченной функции): для любого ограниченного снизу множества $ M\sbs\mathbb{R}$(то есть такого, что $ x\geqslant K$при всех $ x\in M$и некотором $ K$; число $ K$называется нижней гранью множества $ M$) имеется точная нижняя грань $ \inf M$, то есть наибольшее из чисел $ K$, таких что $ x\leqslant K$при всех $ x\in M$Аналогично, если множество $ M$ограничено сверху, то оно имеет точную верхнюю грань $ \sup M$: это наименьшая из верхних граней $ K$(для которых $ x\leqslant K$при всех $ x\in M$).

Рис.3.21.Нижняя и верхняя грани ограниченного множества

Если $ x_0=\inf M$, то существует невозрастающая последовательность точек $ {x_1\geqslant x_2\geqslant \dots\geqslant x_i\geqslant \dots}$, которая стремится к $ x_0$. Точно так же если $ x_0=\sup M$, то существует неубывающая последовательность точек $ {x_1\leqslant x_2\leqslant \dots\leqslant x_i\leqslant \dots}$, которая стремится к $ x_0$.

Если точка $ x_0=\inf M$принадлежит множеству $ M$, то $ x_0$является наименьшим элементом этого множества: $ x_0=\min M$; аналогично, если $ x_0=\sup M\in M$, то $ x_0=\max M$.

Кроме того, для дальнейшего нам понадобится следующая

Лемма 3.1 Пусть $ f(x)$- непрерывная функция на отрезке $ [a;b]$, и множество $ M$тех точек $ x\in[a;b]$, в которых $ f(x)=K$(или $ f(x)\leqslant K$, или $ f(x)\geqslant K$) не пусто. Тогда в множестве $ M$имеется наименьшее значение $ x_{\min}\in M$, такое что $ x\geqslant x_{\min}$при всех $ x\in M$.

Рис.3.22. Наименьший аргумент, при котором функция принимает заданное значение

Доказательство. Поскольку $ M$- ограниченное множество (это часть отрезка $ [a;b]$), то оно имеет точную нижнюю грань $ x_0=\inf M$. Тогда существует невозрастающая последовательность $ \{x_i\}\sbs M$, $ i=1,2,\dots$, такая что $ x_i\to x_0$при $ i\to\infty$. При этом $ f(x_i)=K$, по определению множества $ M$. Поэтому, переходя к пределу, получаем, с одной стороны,

Скачать реферат Скачать реферат
Страница:  1  2  3  4  5  6 


Другие рефераты на тему «Математика»:

Поиск рефератов

Последние рефераты раздела

Copyright © 2010-2024 - www.refsru.com - рефераты, курсовые и дипломные работы