Теорема Бернулли. Закон распределения Пуассона. Критерий Колмогорова

Закон Пуассона

Рассмотрим случайную величину X, которая может принимать целые, неотрицательные значения:0,1,2, . ,m, .

Говорят, что эта СВ X распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение т, выражается формулой:

(m=0,1,2 .), а - некоторая положительная вел

ичина называемая параметром закона Пуассона. Ряд распределения СВ X, распределенный по закону Пуассона, имеет вид:

Это распределение зависит от одного параметра а, на рисунке 1 показан вид распределения Пуассона при различных а.

Математическое ожидание данного распределения случайной величины равно параметру закона Пуассона а: ; Дисперсия также равна этому параметру: Dx=a. Таким образом дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона равна ее математическому ожиданию и равна параметру а.

Это свойство применяется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина X, распределена по закону Пуассона, для этого определяют из опыта статистические характеристики: математическое ожидание и дисперсию. Если их значения близки, то гипотеза является правдоподобной.

Дискетной называется случайная величина возможные значения которой есть отдельные изолированные числа(т.е. между двумя возможными соседними значениями нет возможных значений), которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным (в последнем случае множество всех возможных значений называют счетным).

Законом распределения называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей. Текст программы:

Program Puasson_Kolmagor;

Uses CRT, Graph;

Const a = 2.0; d = 8; n = 500; k = d+1; Lkr = 1.2;

Top = 68; Left = 45; Width = 550; Height = 340; Ny = 14;

Type Real = Extended;

Var GrDriver, GrMode, X1, Y1, X2, Y2 : Integer;

i, j, w : Word; SumS, SumA, Ran, Dk, Kol : Real;

Xmin, Xmax, Ry, Mx, Dx, Rx, Sx, Ex, Sk, h : Real;

HZoom, VZoom, Lx, Ly : Real; Txt : String[20];

S, AL, AY, Y : Array[0 d] Of Real;

X : Array[1 n] Of Byte;

Procedure Bue; Far;

Begin

AssignCrt(Output); Rewrite(Output); CloseGraph;

Window(1, 1, 80, 25); ClrScr;

WriteLn ('Programed by Yuri Melnikov RD-2');

WriteLn ('All rights reserved. (c) 2004.');

WriteLn ('Thanks for attention.');

End;

Procedure Pause;

Var TextAtt, i : Byte;

Begin

Delay(1000); While KeyPressed Do ReadKey;

TextAtt := TextAttr; TextColor(7);

GoToXY(1, 25); For i := 1 To 5 Do WriteLn;

Write(' Press any key to continue or <ESC> to exit .');

Repeat Until KeyPressed; If ReadKey = #27 Then Halt;

TextAttr := TextAtt; GoToXY(1, 1); ClearDevice;

End;

Function Pwr(x, p: Real) : Real; {Возведение в степень}

Begin

If x > 0 Then Pwr := exp(p*ln(x))

Else Pwr := 0;

End;

Function Fact(x : Word) : Real;

{Справка для Егоровой Т.П. Считает до 1000!}

Var i : Word; F : Real;

Begin

F := 1;

If x > 0 Then For i := 1 To x Do F := F * i;

Fact := F;

End;

Function f(m : Word) : Real;

Begin

If m >= 0 Then f := Pwr(a, m)*exp(-a) / Fact(m)

Else f := 0;

End;

Begin

Assign(Output, ''); Rewrite(Output); Randomize; ExitProc := @Bue;

DetectGraph(GrDriver, GrMode); InitGraph(GrDriver, GrMode, 'BGI');

SumS := 0;

For i := 0 To d Do Begin

S[i] := f(i); SumS := SumS + S[i];

End;

For i := 0 To d Do Begin al[i] := 0;

For j := 0 To i Do al[i] := al[i] + S[j] / SumS;

End;

For w := 1 To n Do Begin

Ran := Random;

For i := 0 To d Do Begin

If al[i] > Ran Then Begin

x[w] := i; Break;

End;

End;

End; WriteLn; Write(' Смоделирована ');

WriteLn('последовательность случайных чисел (з. Пуассона):');

WriteLn; Mx := 0;

For i := 1 To n Do Begin

Write(X[i]:2, ' ');

Mx := Mx + X[i] / n;

End; Pause; Dx := 0; Sk := 0;

Xmin := X[1]; Xmax := Xmin;

For i := 1 To n Do Begin

Dx := Dx + Sqr(x[i]-Mx) / (n - 1);

If Xmin > X[i] Then Xmin := X[i];

If Xmax < X[i] Then Xmax := X[i];

End;

Sx := Sqrt(Dx); WriteLn;

Rx := d; h := Rx / k; Ex := -3;

For i := 1 To n Do Begin

Sk := Sk + Sqr(x[i]-Mx)*(x[i]-Mx)/(Dx*Sx*k);

Ex := Ex + Sqr(x[i]-Mx)*Sqr(x[i]-Mx)/(k*Sqr(Dx));

End;

WriteLn(' Диапазон значений: ', Xmin:0:3, ' - ', Xmax:0:3);

WriteLn(' Мат. ожидание: ', Mx:0:3);

WriteLn(' Дисперсия: ', Dx:0:3);

WriteLn(' Ср. кв. отклонение: ', Sx:0:3);

WriteLn(' Коэффициент скошенности: ', Sk:0:3);

WriteLn(' Эксцесс: ', Ex:0:3); Pause;

For i := 1 To n Do Begin

j := Trunc((x[i]-Xmin) / h); If j > d Then j := d;

y[j] := y[j] + 1/n;

End; Dk := 0;

For i := 0 To d Do Begin ay[i] := 0; al[i] := 0;

For j := 0 To i Do Begin

ay[i] := ay[i] + y[j];

al[i] := al[i] + f(j);

End;

If Dk < Abs(ay[i]-al[i]) Then Dk := Abs(ay[i]-al[i]);

End; Ry := 0;

For i := 0 To d Do Begin

If Ry < y[i] Then Ry := y[i];

End;

HZoom := Width / Rx; VZoom := Height / Ry;

WriteLn; WriteLn(' Гистограмма смоделированной СВ :');

Lx := Rx / k; Ly := Ry / Ny; SetTextStyle(0,1,0);

SetViewPort(Left, Top, Left + Width, Top + Height, False);

For i := 0 To k Do Begin

X1 := Round(Lx*i*HZoom);

SetColor(7); Line(X1, 0, X1, Height + 5);

Str((Lx*i+Xmin):0:2, Txt);

OutTextXY(X1+4, Height+10, Txt);

 Скачать реферат