Основная теорема алгебры

max

По

следовательность такая, что R, при некотором R, называется ограниченной.

Для вещественных переменных известная теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. То же самое верно и для последовательностей, составленных из комплексных чисел.

Действительно, пусть ограниченная последовательность, т.е. , тогда , так что есть ограниченная последовательность вещественных чисел. Из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность . Рассмотрим соответствующую подпоследовательность мнимых частей . Она ограничена, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность .

Соответствующая подпоследовательность комплексных чисел имеет сходящиеся последовательности вещественных и мнимых частей и, следовательно, сходятся, и ее предел равен .

4. Доказательство основной теоремы

Прежде чем приступить к формальному доказательству, наметим его идею. Пусть -полином, рассматриваемый как функция от комплексной переменной .Представим себе "график" функции , считая , что значения изображаются на горизонтальной плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, а значения откладываются вверх в направлении оси . Мы установим, чтоявляются непрерывными функциями отна всей плоскости комплексной переменной. Функция от комплексной переменной называется непрерывной в точке , если достаточно близким к значениями соответствует сколь угодно близкие к значения .В более точных терминах - для любого найдется такое , что , как только .

Непрерывность дает основания представлять себе график в виде непрерывной поверхности, накрывающей плоскость , и местами доходящей до этой плоскости. Собственно говоря, нам и нужно доказать, что существует такое значение , в котором , и, тем самым, , т.е. что поверхность доходит до плоскости в точке . Мы докажем, что если дана точка на поверхности ,которая расположена выше плоскости , то в ее окрестности найдется точка поверхности расположенная ниже данной точки. Тогда останется только доказать, что на поверхности существует самая низкая точка, скажем, при . Она не может находиться выше плоскости , ибо тогда она была бы самой низкой точкой. Следовательно, и , следовательно , т.е. корень полинома .

Теперь приступим к доказательству основной теоремы, разбив это доказательство на цепочку лемм.

Лемма 1. Дан полином c нулевым свободным членом.

Тогда для любого найдется такое , что , как только .

Доказательство: Пусть . Тогда

Положим

Если

то

что и требовалось доказать.

Лемма 2. Полином есть непрерывная функция во всех точках плоскости комплексной переменной.

Доказательство: Пусть дан полином и точка . Расположим полином по степеням

,

 Скачать реферат