Основная теорема алгебры

Рефераты / Математика / Основная теорема алгебры

+( +…+ ))=

= c0 (1+ +).

Здесь

есть полином от с нулевым свободным членом. По лемме 1 для =найдется такое ,что ||<, как только ||<. Положим=() и . Тогда

Выберем так, что . Для этого нужно взять . Далее, положим , т.е. возьмем . При таком выборе будет . Теперь положим

при и . Тогда и

||=.

Лемма доказана.

Заметим, что с тем же успехом мы могли бы взять при так что при k>1 (т.е. в случае, когда -корень кратности полинома )имеется k направлений спуска по поверхности . Они разделяются направлениями подъема при

Действительно, в этих направлениях

Так что если есть корень производной кратности , то поверхность в окрестности точки "гофрирована" так, что на ней имеется "долин" cпуска, раздельных "хребтами" подъема.

Теорема: Полином с комплексными коэффициентами, отличный от постоянной, имеет по меньше мере один комплексный корень (т.е. поле , комплексных чисел алгебраически замкнуто).

Доказательство: Пусть - данный полином, отличный от константы. Пусть, далее, и - точка, в которой ; Она существует по лемме 5. Тогда ибо иначе, согласно лемме 6, нашлась бы такая точка что невозможно.