Основная теорема алгебры

Тогда так что

Правая часть есть полином от с нулевым свободным членом.

По лемме 1 для любого найдется такое=19 src="images/referats/7493/image057.png">, что как только что и требовалось доказать.

Лемма 3. Модуль полинома есть непрерывная функция.

Доказательство: Из неравенства следует, что для данного то , которое "обслуживает" , подходит и для . Действительно, при имеем

Лемма 4. (о возрастании модуля полинома). Если -полином, отличный от константы, то для любого М>0 существует такое R>0, что M,как только .

Это означает, что любая горизонтальная плоскость отрезает от поверхности конечный кусок, накрывающий часть круга |z|≤R.

Доказательство: Пусть

где полином от c нулевым свободным членом.

В силу леммы 1 для найдется такое , что при , будет . Модуль может быть сделан сколь угодно большим, именно, при будет . Возьмем Тогда при будет

и так что

Лемма 5. Точная нижняя грань значений достигается, т.е. существует такое, что при всех .

Доказательство: Обозначим точную нижнюю грань через . Возьмем последовательностью стремящихся к сверху. Каждая из этих чисел не является нижней гранью значений , ибо -точная нижняя грань. Поэтому найдутся такие, что . Воспользуемся теперь леммой о возрастании модуля. Для найдем такое , что при будет Отсюда следует, что при все . Последовательностью оказалась ограниченной, и из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность . Пусть ее предел равен . Тогда в силу непрерывности . Кроме того, . Поэтому Итак , что и требовалось доказать.

Лемма 6. (Лемма Даламбера). Пусть полином отличный от константы, и пусть . Тогда найдется такая точка, что

Геометрический смысл этой леммы: если на поверхности дана точка, находящаяся выше плоскости , то на ней найдется другая точка, расположенная ниже первой.

Доказательство: Расположим полином по степеням

Тогда Идея доказательства состоит в том, чтобы за счет первого отличного от нуля слагаемого "откусить кусочек" от , а влияние дальнейших слагаемых сделать незначительным. Пусть – первое отличное от нуля слагаемое после , так что (если k>1). Такое слагаемое имеется, так как не константа. Тогда

 Скачать реферат